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東京大学 2010年文系第2問解説

方針・初手

与えられた等式の左辺 $f(x+1)$ と右辺の定積分をそれぞれ $x$ の多項式として表す。右辺の積分変数は $t$ であるため、$x$ は定数として扱って積分の外に出すことができる。両辺を $x$ について整理し、係数を比較することで $a, b, c$ の連立方程式を導く。

解法1

$f(x) = x^2 + ax + b$ より、$f'(x) = 2x + a$ である。

与式の左辺は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f(x+1) &= (x+1)^2 + a(x+1) + b \\ &= x^2 + 2x + 1 + ax + a + b \\ &= x^2 + (a+2)x + a+b+1 \end{aligned} $$

与式の右辺の積分を計算する。積分変数は $t$ なので、$x$ は定数として扱う。

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (3x^2 + 4xt) f'(t) dt &= \int_0^1 (3x^2 + 4xt)(2t + a) dt \\ &= \int_0^1 \{ 6x^2 t + 3ax^2 + 8xt^2 + 4axt \} dt \\ &= \left[ 3x^2 t^2 + 3ax^2 t + \frac{8}{3}xt^3 + 2axt^2 \right]_{t=0}^{t=1} \\ &= 3x^2 + 3ax^2 + \frac{8}{3}x + 2ax \\ &= 3(a+1)x^2 + 2\left(a + \frac{4}{3}\right)x \end{aligned} $$

したがって、与えられた等式は次のようになる。

$$ x^2 + (a+2)x + a+b+1 = 3c(a+1)x^2 + 2c\left(a + \frac{4}{3}\right)x $$

これが $x$ についての恒等式となるための条件は、両辺の各次数の係数が等しいことである。

$$ \begin{cases} 1 = 3c(a+1) & \cdots \text{①} \\ a+2 = 2c\left(a + \frac{4}{3}\right) & \cdots \text{②} \\ a+b+1 = 0 & \cdots \text{③} \end{cases} $$

③より、

$$ b = -a-1 \quad \cdots \text{④} $$

①について、$a = -1$ とすると $1 = 0$ となり矛盾するため、$a \neq -1$ である。よって、

$$ c = \frac{1}{3(a+1)} \quad \cdots \text{⑤} $$

⑤を②に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} a+2 &= 2 \cdot \frac{1}{3(a+1)} \cdot \frac{3a+4}{3} \\ a+2 &= \frac{2(3a+4)}{9(a+1)} \\ 9(a+1)(a+2) &= 6a+8 \\ 9(a^2 + 3a + 2) &= 6a+8 \\ 9a^2 + 27a + 18 &= 6a+8 \\ 9a^2 + 21a + 10 &= 0 \\ (3a+2)(3a+5) &= 0 \end{aligned} $$

これを解いて、$a = -\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}$ を得る。これらは $a \neq -1$ を満たす。

(i)

$a = -\frac{2}{3}$ のとき

④より、

$$ b = -\left(-\frac{2}{3}\right) - 1 = -\frac{1}{3} $$

⑤より、

$$ c = \frac{1}{3\left(-\frac{2}{3}+1\right)} = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{3}} = 1 $$

(ii)

$a = -\frac{5}{3}$ のとき

④より、

$$ b = -\left(-\frac{5}{3}\right) - 1 = \frac{2}{3} $$

⑤より、

$$ c = \frac{1}{3\left(-\frac{5}{3}+1\right)} = \frac{1}{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = -\frac{1}{2} $$

以上より、求める組は2組得られる。

解説

定積分を含む等式が恒等式となる条件を求める典型問題である。積分変数が $t$ であるため、被積分関数に含まれる $x$ は定数として積分の外に出せることに注意して計算を進める。恒等式の性質から係数比較を行い、得られた連立方程式を解くという基本手順を正確に実行する計算力が問われている。連立方程式を解く際、文字式の分母に文字を含む場合は、その文字式が $0$ にならないことの確認（本問では $a \neq -1$）を忘れないようにする。