東京大学 2012年 文系 第4問 解説

方針・初手

（1） 放物線 $C$ 上の接点を文字でおき、その点における接線の方程式を立てる。これが点 $(s, t)$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標に関する2次方程式を導き、その解を用いて接線の方程式を $s, t$ で表す。

（2） 放物線と2本の接線で囲まれる図形の面積は、接点の $x$ 座標の差のみで表現できるよく知られた形である。定積分を計算して面積を $s, t$ の式で表し、これが $a$ に等しいという条件式を立てる。その際、問題文の「$t < 0$」という条件を満たすように $s, t$ の存在範囲（または $a$ の条件）を吟味する。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2 + 1$ について、$y' = 2x$ である。 $C$ 上の点 $(k, k^2 + 1)$ における接線の方程式は

$$ y - (k^2 + 1) = 2k(x - k) $$

すなわち

$$ y = 2kx - k^2 + 1 $$

となる。これが点 $(s, t)$ を通るから

$$ t = 2ks - k^2 + 1 $$

$$ k^2 - 2sk + t - 1 = 0 $$

この $k$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$ \frac{D}{4} = s^2 - (t - 1) = s^2 - t + 1 $$

問題の条件より $t < 0$ であるから、$-t > 0$ となり、$s^2 - t + 1 > 0$ は常に成り立つ。 よって、この2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。解の公式より

$$ k = s \pm \sqrt{s^2 - t + 1} $$

これらをそれぞれ接線の方程式に代入して整理すると、$l_1, l_2$ の方程式は

$$ y = 2\left(s \pm \sqrt{s^2 - t + 1}\right)x - \left(s \pm \sqrt{s^2 - t + 1}\right)^2 + 1 $$

$$ y = 2\left(s \pm \sqrt{s^2 - t + 1}\right)x - \left\{ s^2 \pm 2s\sqrt{s^2 - t + 1} + (s^2 - t + 1) \right\} + 1 $$

$$ y = 2\left(s \pm \sqrt{s^2 - t + 1}\right)x - 2s^2 + t \mp 2s\sqrt{s^2 - t + 1} $$

$$ y = 2\left(s \pm \sqrt{s^2 - t + 1}\right)(x - s) + t \quad \text{（複号同順）} $$

(2)

(1) で求めた2次方程式 $k^2 - 2sk + t - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。 すなわち、

$$ \alpha = s - \sqrt{s^2 - t + 1}, \quad \beta = s + \sqrt{s^2 - t + 1} $$

であり、2本の接線 $l_1, l_2$ の接点の $x$ 座標が $\alpha, \beta$ である。 また、2接線の交点の $x$ 座標は $s$ であり、解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2s$ すなわち $s = \frac{\alpha + \beta}{2}$ となっている。 放物線 $C$ と直線 $l_1, l_2$ で囲まれる領域の面積を $S$ とすると

$$ S = \int_{\alpha}^{s} \left\{ (x^2 + 1) - (2\alpha x - \alpha^2 + 1) \right\} dx + \int_{s}^{\beta} \left\{ (x^2 + 1) - (2\beta x - \beta^2 + 1) \right\} dx $$

$$ S = \int_{\alpha}^{s} (x - \alpha)^2 dx + \int_{s}^{\beta} (x - \beta)^2 dx $$

$$ S = \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{s} + \left[ \frac{(x - \beta)^3}{3} \right]_{s}^{\beta} $$

$$ S = \frac{(s - \alpha)^3}{3} - \frac{(s - \beta)^3}{3} $$

ここで、$s - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}$、$s - \beta = -\frac{\beta - \alpha}{2}$ であるから

$$ S = \frac{1}{3} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \left( -\frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 = \frac{(\beta - \alpha)^3}{12} $$

$\beta - \alpha = 2\sqrt{s^2 - t + 1}$ を代入すると

$$ S = \frac{1}{12} \left( 2\sqrt{s^2 - t + 1} \right)^3 = \frac{8}{12} (s^2 - t + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} (s^2 - t + 1)^{\frac{3}{2}} $$

この面積 $S$ が $a$ となるので

$$ \frac{2}{3} (s^2 - t + 1)^{\frac{3}{2}} = a $$

$$ (s^2 - t + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} a $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して

$$ s^2 - t + 1 = \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} $$

$$ t = s^2 + 1 - \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} $$

ここで、問題の条件より $t < 0$ であるから

$$ s^2 + 1 - \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} < 0 $$

$$ s^2 < \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1 $$

この不等式を満たす実数 $s$ が存在するための条件は

$$ \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1 > 0 $$

$$ \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} > 1 $$

$$ \frac{3}{2} a > 1 \iff a > \frac{2}{3} $$

したがって、$a > \frac{2}{3}$ のとき条件を満たす $s, t$ の組が存在し、$s$ の取りうる範囲は

$$ -\sqrt{\left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1} < s < \sqrt{\left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1} $$

となる。$0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき、条件を満たす $(s, t)$ は存在しない。

解説

放物線の外部の点から引いた2本の接線と放物線で囲まれる面積を求める典型問題である。接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ としたとき、交点の $x$ 座標がその中点 $\frac{\alpha + \beta}{2}$ になること、および面積が $\frac{(\beta - \alpha)^3}{12}$ で計算できることは、いわゆる「1/12公式」として知られている。計算量を減らすために、積分計算の際に $(x-\alpha)^2$ などの塊を作って計算する工夫が不可欠である。 また、本問では単に関係式を導いて終わるのではなく、大前提である $t < 0$ という条件から生じる $s$ の存在範囲や、与えられた定数 $a$ に対する場合分けを漏れなく行うことが重要となる。

答え

(1)

$l_1, l_2$ の方程式は $y = 2\left(s + \sqrt{s^2 - t + 1}\right)(x - s) + t$ $y = 2\left(s - \sqrt{s^2 - t + 1}\right)(x - s) + t$

(2)

$a > \frac{2}{3}$ のとき $t = s^2 + 1 - \left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} \quad \left( -\sqrt{\left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1} < s < \sqrt{\left( \frac{3}{2} a \right)^{\frac{2}{3}} - 1} \right)$ を満たす全ての実数の組 $(s, t)$。 $0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき、 条件を満たす $(s, t)$ は存在しない。