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東京大学 2020年文系第1問解説

方針・初手

条件1より、与えられた3次関数が $x$ 軸に接する条件を極値に着目して立式し、$b$ を $a$ で表す。条件2について、$x$ 軸と曲線で囲まれた領域を図示し、その領域に含まれる格子点（$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点）がちょうど1個となるための必要十分条件を考える。格子点が1個に限定されるため、最も $y$ 座標が大きくなる $x=0$ での点を中心に領域を評価する。

解法1

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + b$ とおく。 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) $$

$a > 0$ より、$f(x)$ は $x=0$ で極大値 $f(0) = b$ をとり、$x=2a$ で極小値 $f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + b = b - 4a^3$ をとる。条件1より、曲線 $C$ は $x$ 軸に接する。$b > 0$ であるから極大値は正であり、極小値が $0$ になるほかない。したがって、$b - 4a^3 = 0$ より

$$ b = 4a^3 $$

このとき、$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4a^3 = (x - 2a)^2(x + a)$ と因数分解できるため、曲線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標は $x = -a, 2a$ である。したがって、$x$ 軸と曲線 $C$ で囲まれた領域 $D$（境界を含まない）は、次のように表される。

$$ D = \{ (x, y) \mid -a < x < 2a,\ 0 < y < f(x) \} $$

この領域 $D$ に含まれる格子点がちょうど1個であるための条件を求める。もし領域 $D$ に $y \ge 2$ となる格子点 $(k, y)$ が含まれるならば、$0 < 1 < y < f(k)$ となるため、点 $(k, 1)$ も必ず領域 $D$ に含まれることになり、格子点が2個以上存在することになる。したがって、領域 $D$ に含まれる格子点がちょうど1個であるならば、その点の $y$ 座標は必ず $1$ でなければならない。

$-a \le x \le 2a$ において、$f(x)$ は $x = 0$ で最大値 $f(0) = 4a^3$ をとる。よって、領域 $D$ に含まれるただ1つの格子点は $(0, 1)$ に限られる。これが成り立つ条件は、以下の（i）と（ii）を両方満たすことである。

（i）点 $(0, 1)$ が領域 $D$ に含まれ、かつ $(0, 2)$ が領域 $D$ に含まれない。

点 $(0, 1)$ が $D$ に含まれる条件は、$f(0) > 1$ である。

$$ 4a^3 > 1 \iff a^3 > \frac{1}{4} $$

$a > 0$ より、

$$ a > \frac{1}{\sqrt[3]{4}} $$

点 $(0, 2)$ が $D$ に含まれない条件は、$f(0) \le 2$ である。

$$ 4a^3 \le 2 \iff a^3 \le \frac{1}{2} $$

$a > 0$ より、

$$ a \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $$

したがって、（i）より $a$ の範囲は $\frac{1}{\sqrt[3]{4}} < a \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ となる。

(ii)

$x \neq 0$ である任意の整数 $k$ について、点 $(k, 1)$ が領域 $D$ に含まれない。

（i）を満たすとき、$-a$ および $2a$ の値の範囲を評価する。 $-\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \le -a < -\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ より、$-1 < -a < 0$ である。また、$2 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}} < 2a \le 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$、すなわち $\sqrt[3]{2} < 2a \le \sqrt[3]{4}$ より、$1 < 2a < 2$ である。したがって、領域 $D$ の $x$ の範囲 $-a < x < 2a$ に含まれる整数は $x = 0$ と $x = 1$ のみである。ゆえに、調べるべき条件は $x = 1$ における点 $(1, 1)$ が領域 $D$ に含まれないことだけである。 $x = 1$ は $-a < x < 2a$ の範囲にあるから、$(1, 1)$ が $D$ に含まれない条件は $f(1) \le 1$ である。

$$ f(1) = 1 - 3a + 4a^3 \le 1 $$

$$ 4a^3 - 3a \le 0 $$

$$ a(4a^2 - 3) \le 0 $$

$a > 0$ であるから、

$$ 4a^2 - 3 \le 0 \iff a^2 \le \frac{3}{4} \iff a \le \frac{\sqrt{3}}{2} $$

ここで、（i）で求めた $a$ の上限 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ の大小関係を調べる。それぞれの6乗を比較すると、

$$ \left( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right)^6 = \frac{1}{4} = \frac{16}{64} $$

$$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^6 = \frac{27}{64} $$

したがって、$\frac{1}{\sqrt[3]{2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つ。よって、（i）を満たす $a$ は常に $a \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすため、条件（ii）は（i）の範囲において常に成り立つ。

以上より、求める $a$ の範囲は $\frac{1}{\sqrt[3]{4}} < a \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ である。

解説

微分を用いて極値を求め、グラフの概形から領域を特定する典型的な問題である。格子点が「ちょうど1個」という条件から、どの点が候補になるかを順に絞り込む。最大値をとる $x=0$ に注目すると、格子点が現れる位置を整理しやすい。また、$x=1$ における条件を確認する際に現れる無理数の大小比較（$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$）は、両辺を6乗して比較すると整理しやすい。