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東京大学 2023年文系第2問解説

方針・初手

点と直線の距離の公式を用いて、まずは $f(t)$ を $t$ の式で表す。積分区間に絶対値が含まれるため、被積分関数の符号が変わる点で区間を分け、絶対値記号を外して計算する。積分の上端 $a$ の位置によって定積分の式が変わるため、場合分けを行う。 (2)では、(1)で求めた $g(a)$ と $f(a)$ から新たな関数 $h(a)$ を構成し、微分を用いて増減を調べる。極値を求める際、高次式の値を計算することになるため、「次数下げ」を利用すると計算が容易になる。

解法1

直線 $l$ の方程式は $2x - y = 0$ である。点 $P(t, 3t^2 - 4t)$ と直線 $l$ の距離 $f(t)$ は、点と直線の距離の公式より

$$ f(t) = \frac{|2t - (3t^2 - 4t)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3t^2 + 6t|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}|t(t - 2)| $$

(1) $f(t)$ の絶対値を外すため、$t(t-2)$ の符号を調べる。 $-1 \leqq t \leqq 0$ のとき、$t(t-2) \geqq 0$ より $f(t) = \frac{3}{\sqrt{5}}(t^2 - 2t)$ $0 \leqq t \leqq 2$ のとき、$t(t-2) \leqq 0$ より $f(t) = \frac{3}{\sqrt{5}}(-t^2 + 2t)$

$a$ の値によって積分区間での関数の式が変わるため、場合分けをして計算する。

(i)

$-1 \leqq a < 0$ のとき

$$ g(a) = \int_{-1}^a \frac{3}{\sqrt{5}}(t^2 - 2t) dt = \frac{3}{\sqrt{5}} \left[ \frac{1}{3}t^3 - t^2 \right]_{-1}^a $$

$$ g(a) = \frac{3}{\sqrt{5}} \left( \frac{1}{3}a^3 - a^2 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) \right) = \frac{1}{\sqrt{5}}(a^3 - 3a^2 + 4) $$

(ii)

$0 \leqq a \leqq 2$ のとき

$$ g(a) = \int_{-1}^0 f(t) dt + \int_0^a f(t) dt $$

ここで、1つ目の定積分は（i）の結果に $a=0$ を代入したものと等しくなるため

$$ \int_{-1}^0 f(t) dt = \frac{4}{\sqrt{5}} $$

2つ目の定積分は

$$ \int_0^a \frac{3}{\sqrt{5}}(-t^2 + 2t) dt = \frac{3}{\sqrt{5}} \left[ -\frac{1}{3}t^3 + t^2 \right]_0^a = \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 3a^2) $$

よって

$$ g(a) = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 3a^2) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 3a^2 + 4) $$

(2) $0 \leqq a \leqq 2$ のとき

$$ g(a) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 3a^2 + 4) $$

$$ f(a) = \frac{3}{\sqrt{5}}(-a^2 + 2a) $$

$h(a) = g(a) - f(a)$ とおく。

$$ h(a) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 3a^2 + 4) - \frac{3}{\sqrt{5}}(-a^2 + 2a) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3 + 6a^2 - 6a + 4) $$

$h(a)$ を $a$ で微分する。

$$ h'(a) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-3a^2 + 12a - 6) = -\frac{3}{\sqrt{5}}(a^2 - 4a + 2) $$

$h'(a) = 0$ とすると $a^2 - 4a + 2 = 0$ であり、これを解くと $a = 2 \pm \sqrt{2}$ となる。 $0 \leqq a \leqq 2$ の範囲にある解は $a = 2 - \sqrt{2}$ である。

増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & 2-\sqrt{2} & \cdots & 2 \\ \hline h'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline h(a) & \frac{4}{\sqrt{5}} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \frac{8}{\sqrt{5}} \end{array} $$

極小値を計算する。 $a^2 - 4a + 2 = 0$ より $a^2 = 4a - 2$ である。これを用いて $-a^3 + 6a^2 - 6a + 4$ の次数を下げる。

$$ \begin{aligned} -a^3 + 6a^2 - 6a + 4 &= -a(4a - 2) + 6(4a - 2) - 6a + 4 \\ &= -4a^2 + 2a + 24a - 12 - 6a + 4 \\ &= -4(4a - 2) + 20a - 8 \\ &= -16a + 8 + 20a - 8 \\ &= 4a \end{aligned} $$

したがって、$a = 2 - \sqrt{2}$ のとき

$$ h(2 - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 4(2 - \sqrt{2}) = \frac{8 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} $$

また、定義域の両端における値はそれぞれ

$$ h(0) = \frac{4}{\sqrt{5}} $$

$$ h(2) = \frac{1}{\sqrt{5}}(-8 + 24 - 12 + 4) = \frac{8}{\sqrt{5}} $$

となる。$\frac{8}{\sqrt{5}} > \frac{4}{\sqrt{5}}$ より、最大値は $\frac{8}{\sqrt{5}}$、最小値は $\frac{8 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ である。

解説

絶対値を含む関数の定積分は、被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割し、絶対値記号を外して計算することが基本である。(1)においては、積分の上端 $a$ が符号変化の境界である $0$ をまたぐかどうかで場合分けを行う。 (2)では、(1)で求めた関数を具体的に代入して3次関数の最大・最小問題に帰着させる。無理数を含む極値を求める際の計算量削減として、導関数から得られる2次方程式 $a^2 - 4a + 2 = 0$ を用いた「次数下げ」を利用すると、計算ミスを防ぐことができる。