東京大学 1962年 理系 第3問 解説

方針・初手

点 $O$ を原点とする座標系を設定し、各点の座標を $\theta$ と $\alpha$ を用いて表す。 重心 $G$ の鉛直方向の座標（高さ）を $\theta$ の関数として立式し、その最小値を求める。

解法1

点 $O$ を原点 $(0,0)$ とし、水平右方向を $x$ 軸の正の向き、鉛直上方向を $y$ 軸の正の向きとする座標系を設定する。

直線 $g$ は水平面に対する傾きが $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ である直線であり、図より $x$ 軸負の方向から下方に角 $\alpha$ だけ傾いた半直線上に点 $B$ がある。 また、棒 $OA$ と $x$ 軸負の方向とのなす角が $\theta$ である。 棒の長さを $OA = AB = l$ とおく。

点 $A$ の座標は、

$$ A(-l \cos \theta, -l \sin \theta) $$

と表せる。

直線 $g$ 上にある点 $B$ は、原点からの距離を $s$ ($s > 0$) とおくと、

$$ B(-s \cos \alpha, -s \sin \alpha) $$

と表せる。

ここで、拘束条件 $AB = l$ より $AB^2 = l^2$ であるから、

$$ (-s \cos \alpha + l \cos \theta)^2 + (-s \sin \alpha + l \sin \theta)^2 = l^2 $$

これを展開して整理すると、

$$ \begin{aligned} s^2 \cos^2 \alpha - 2sl \cos \alpha \cos \theta + l^2 \cos^2 \theta + s^2 \sin^2 \alpha - 2sl \sin \alpha \sin \theta + l^2 \sin^2 \theta &= l^2 \\ s^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - 2sl (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) + l^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) &= l^2 \\ s^2 - 2sl \cos(\theta - \alpha) + l^2 &= l^2 \\ s^2 - 2sl \cos(\theta - \alpha) &= 0 \end{aligned} $$

$s > 0$ であるから、

$$ s = 2l \cos(\theta - \alpha) $$

となる。

したがって、点 $B$ の $y$ 座標は $-2l \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha$ である。

次に、折れ線 $OAB$ の重心 $G$ の $y$ 座標 $y_G$ を求める。 問題文の定義より、$G$ は $OA$ の中点 $M_1$ と $AB$ の中点 $M_2$ を結ぶ線分の中点である。

$M_1$ の $y$ 座標は $-\frac{l}{2} \sin \theta$ である。 $M_2$ の $y$ 座標は $\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-l \sin \theta - 2l \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha}{2}$ である。

よって、$G$ の $y$ 座標 $y_G$ は、

$$ \begin{aligned} y_G &= \frac{1}{2} \left( -\frac{l}{2} \sin \theta + \frac{-l \sin \theta - 2l \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha}{2} \right) \\ &= -\frac{1}{4} \left( 2l \sin \theta + 2l \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha \right) \\ &= -\frac{l}{2} \left( \sin \theta + \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha \right) \end{aligned} $$

重心 $G$ が最低になるのは、$y_G$ が最小になるとき、すなわち

$$ f(\theta) = \sin \theta + \cos(\theta - \alpha) \sin \alpha $$

が最大になるときである。

加法定理を用いて $f(\theta)$ を変形する。

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= \sin \theta + (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \sin \alpha \\ &= (1 + \sin^2 \alpha) \sin \theta + (\sin \alpha \cos \alpha) \cos \theta \end{aligned} $$

条件 $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ より、

$$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (1/2)^2} = \frac{4}{5} $$

$$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $$

$$ \sin \alpha \cos \alpha = \tan \alpha \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} $$

これらを $f(\theta)$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= \left( 1 + \frac{1}{5} \right) \sin \theta + \frac{2}{5} \cos \theta \\ &= \frac{6}{5} \sin \theta + \frac{2}{5} \cos \theta \end{aligned} $$

三角関数の合成を用いると、

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= \frac{2}{5} (3 \sin \theta + \cos \theta) \\ &= \frac{2\sqrt{10}}{5} \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{10}} \cos \theta \right) \\ &= \frac{2\sqrt{10}}{5} \sin(\theta + \beta) \end{aligned} $$

ただし、$\beta$ は $\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ を満たす鋭角である。

$f(\theta)$ が最大となるのは、$\sin(\theta + \beta) = 1$ すなわち $\theta + \beta = \frac{\pi}{2}$ のときである。 このとき、

$$ \tan \theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \frac{1}{\tan \beta} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3 $$

したがって、重心 $G$ が最低になるのは $\tan \theta = 3$ のときである。

解説

本問は、複数の動く点からなる系の重心の軌跡（またはその端点）を求める問題である。 独立変数として $\theta$ を設定し、拘束条件 $OA = AB$ から点 $B$ の位置を決定する流れが自然である。 点 $B$ を求める際、三角形 $OAB$ に余弦定理を用いて $OB$ の長さを出すことも可能であるが、直交座標系による立式の方が符号の処理も含めて確実である。 立式後は定石通り $A \sin \theta + B \cos \theta$ の形に整理し、三角関数の合成（または微分法）を用いて最大・最小の条件を導く。

答え

$$ 3 $$