東京大学 1963年 理系 第5問 解説

方針・初手

正方形の中心を原点とする座標軸を設定し、各頂点や動点 $P$ を座標で表すことから始める。直線 $PT$ および $PU$ の方程式を点 $P$ の座標を用いて表し、折線が正方形の面積を二等分するという条件を立式する。この条件から点 $P$ の軌跡（関係式）が求まるため、それを利用して「定数 $y$ に対して $x$ のとり得る範囲を調べる（ファクシミリの原理）」という定石に従い、線分 $PQ$ の通過領域を決定する。

解法1

正方形 $ABCD$ の中心を原点 $O(0, 0)$ とし、各辺が座標軸に平行になるように $xy$ 平面を設定する。 頂点の座標はそれぞれ $A \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right), B \left( \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right), C \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right), D \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)$ となる。 点 $P$ は正方形の内部の点であるから、その座標を $P(X, Y)$ とおくと、$-\frac{a}{2} < X < \frac{a}{2}$ かつ $-\frac{a}{2} < Y < \frac{a}{2}$ である。

直線 $PT$ は辺 $AD$ $\left( y = \frac{a}{2} \right)$ と点 $Q$ で交わり、$\angle AQT = 45^\circ$ である。 点 $A$ は $Q$ の右側にあるため、直線 $PT$ の傾きは $\tan 45^\circ = 1$ である。 したがって、直線 $PT$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - Y = 1 \cdot (x - X) \iff y = x - X + Y $$

点 $Q$ はこの直線と $y = \frac{a}{2}$ の交点であるから、その $x$ 座標 $q$ は

$$ \frac{a}{2} = q - X + Y \iff q = X - Y + \frac{a}{2} $$

また、折線 $TPU$ は $P$ で直交するため、直線 $PU$ の傾きは $-1$ である。 直線 $PU$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - Y = -1 \cdot (x - X) \iff y = -x + X + Y $$

この直線 $PU$ が直線 $y = -\frac{a}{2}$ と交わる点を $R$ と仮定する。点 $R$ の $x$ 座標 $x_R$ は

$$ -\frac{a}{2} = -x_R + X + Y \iff x_R = X + Y + \frac{a}{2} $$

折線 $QPU$ は正方形を左右の2つの領域に分ける。正方形の面積を二等分する条件は、頂点 $A, B$ を含む右側の領域の面積 $S$ が $\frac{a^2}{2}$ になることである。 領域の右端は常に直線 $x = \frac{a}{2}$ であり、左端は $y \ge Y$ においては直線 $PQ$ $\left( x = y + X - Y \right)$、$y \le Y$ においては直線 $PR$ $\left( x = -y + X + Y \right)$ である。 面積 $S$ は $y$ 方向の積分を用いて次のように表される。

$$ S = \int_{-\frac{a}{2}}^{Y} \left\{ \frac{a}{2} - (-y + X + Y) \right\} dy + \int_{Y}^{\frac{a}{2}} \left\{ \frac{a}{2} - (y + X - Y) \right\} dy $$

被積分関数は $y$ の1次式であるから、それぞれの区間の積分は台形の面積として計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{a}{2}}^{Y} \left( \frac{a}{2} - X - Y + y \right) dy &= \frac{1}{2} \left( Y + \frac{a}{2} \right) \left\{ (-X - Y) + \left( \frac{a}{2} - X \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( Y + \frac{a}{2} \right) \left( \frac{a}{2} - 2X - Y \right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{Y}^{\frac{a}{2}} \left( \frac{a}{2} - X + Y - y \right) dy &= \frac{1}{2} \left( \frac{a}{2} - Y \right) \left\{ \left( \frac{a}{2} - X \right) + (-X + Y) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{a}{2} - Y \right) \left( \frac{a}{2} - 2X + Y \right) \end{aligned} $$

これらを足し合わせて展開する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{a^2}{4} - aX - \frac{aY}{2} + \frac{aY}{2} - 2XY - Y^2 \right) + \left( \frac{a^2}{4} - aX + \frac{aY}{2} - \frac{aY}{2} + 2XY - Y^2 \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{a^2}{2} - 2aX - 2Y^2 \right) \\ &= \frac{a^2}{4} - aX - Y^2 \end{aligned} $$

面積を二等分する条件 $S = \frac{a^2}{2}$ より、次の方程式を得る。

$$ \frac{a^2}{4} - aX - Y^2 = \frac{a^2}{2} \iff X = -\frac{Y^2}{a} - \frac{a}{4} $$

これが点 $P(X, Y)$ の満たすべき軌跡の方程式である。 なお、このとき点 $Q$ および点 $R$ の $x$ 座標は以下のように変形できる。

$$ q = \left( -\frac{Y^2}{a} - \frac{a}{4} \right) - Y + \frac{a}{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{a} \left( Y + \frac{a}{2} \right)^2 $$

$$ x_R = \left( -\frac{Y^2}{a} - \frac{a}{4} \right) + Y + \frac{a}{2} = \frac{a}{2} - \frac{1}{a} \left( Y - \frac{a}{2} \right)^2 $$

$-\frac{a}{2} < Y < \frac{a}{2}$ の範囲において、$-\frac{a}{2} < q < \frac{a}{2}$ および $-\frac{a}{2} < x_R < \frac{a}{2}$ が常に成り立つため、点 $Q$ は辺 $AD$ 上に、点 $R$ は辺 $BC$ 上に存在するという仮定は正しい。

次に、線分 $PQ$ の通過する領域を考える。 点 $P$ は放物線 $x = -\frac{y^2}{a} - \frac{a}{4}$ 上を動く。線分 $PQ$ を構成する点 $(x, y)$ は、直線 $x = y + X - Y$ 上にあり、その $y$ 座標の範囲は $Y \le y \le \frac{a}{2}$ である。 $X = -\frac{Y^2}{a} - \frac{a}{4}$ を代入すると、線分 $PQ$ 上の点の $x$ 座標は $Y$ を用いて次のように表される。

$$ x = y - \frac{Y^2}{a} - Y - \frac{a}{4} = y - \frac{1}{a} \left( Y + \frac{a}{2} \right)^2 $$

ここで $y$ $\left( -\frac{a}{2} \le y \le \frac{a}{2} \right)$ を定数として固定したとき、パラメータ $Y$ のとり得る範囲は $Y \le y$ であり、もともとの $P$ の存在範囲から $-\frac{a}{2} \le Y \le y$ となる。 関数 $f(Y) = y - \frac{1}{a} \left( Y + \frac{a}{2} \right)^2$ は $Y \ge -\frac{a}{2}$ の範囲において単調減少である。 したがって、$-\frac{a}{2} \le Y \le y$ の範囲で $Y$ が動くとき、$x = f(Y)$ のとり得る範囲は $f(y) \le x \le f \left(-\frac{a}{2}\right)$ となる。

$$ y - \frac{1}{a} \left( y + \frac{a}{2} \right)^2 \le x \le y $$

これが線分 $PQ$ の通過する領域を表す不等式である。 求める面積 $T$ は、この領域の面積であるから、

$$ T = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \left[ y - \left\{ y - \frac{1}{a} \left( y + \frac{a}{2} \right)^2 \right\} \right] dy = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{1}{a} \left( y + \frac{a}{2} \right)^2 dy $$

$t = y + \frac{a}{2}$ と積分変数を変換すると、$dt = dy$ であり、積分区間は $0$ から $a$ に変わる。

$$ T = \int_{0}^{a} \frac{1}{a} t^2 dt = \frac{1}{a} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{a} = \frac{a^2}{3} $$

解説

図形の面積二等分などの条件を扱う問題では、適切な座標設定が成否を大きく分ける。本問では正方形の中心を原点とすることで、式の対称性が生かされ計算が非常に簡略化される。 通過領域の面積については、端点 $P, Q$ がどのように動くかを一つの方程式でまとめ、「$y$ を固定して $x$ の範囲を調べる」というファクシミリの原理（1文字固定法）を用いることで、包絡線等の複雑な議論を回避し、シンプルに領域を特定することができる。

答え

$$ \frac{a^2}{3} $$