東京大学 1965年 理系 第5問 解説

方針・初手

直線 $3x + y = 0$ は $y = -3x$ と変形できるため、求める接線は傾きが $-3$ である。 したがって、与えられた曲線を微分して導関数を求め、接線の傾きが $-3$ となるような接点の $x$ 座標を求めることから始める。 その際、三角関数の角が $2x$ と $3x$ で異なっているため、2倍角・3倍角の公式を用いて角を $x$ に統一し、三角関数の種類を揃えて方程式を解く。

解法1

$f(x) = 3\sin 2x + \cos 3x$ とおく。

関数 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 3 \cdot 2\cos 2x - 3\sin 3x = 6\cos 2x - 3\sin 3x $$

求める接線は直線 $3x + y = 0$、すなわち $y = -3x$ に平行であるから、接点の $x$ 座標は方程式 $f'(x) = -3$ を満たす。

$$ 6\cos 2x - 3\sin 3x = -3 $$

両辺を $3$ で割って整理すると、

$$ 2\cos 2x - \sin 3x = -1 $$

2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ および、3倍角の公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ を代入して、$\sin x$ についての方程式にする。

$$ 2(1 - 2\sin^2 x) - (3\sin x - 4\sin^3 x) = -1 $$

$$ 2 - 4\sin^2 x - 3\sin x + 4\sin^3 x = -1 $$

$$ 4\sin^3 x - 4\sin^2 x - 3\sin x + 3 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ 4\sin^2 x(\sin x - 1) - 3(\sin x - 1) = 0 $$

$$ (4\sin^2 x - 3)(\sin x - 1) = 0 $$

$$ (2\sin x + \sqrt{3})(2\sin x - \sqrt{3})(\sin x - 1) = 0 $$

これより、$\sin x = 1, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ を得る。

問題の条件より $0 < x < \pi$ であるから、$\sin x > 0$ である。 したがって、$\sin x = 1, \frac{\sqrt{3}}{2}$ に絞られる。

$0 < x < \pi$ の範囲でこれらを満たす $x$ を求めると、

$$ x = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} $$

それぞれの接点における $y$ 座標と接線の方程式を求める。

(i)

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき

接点の $y$ 座標は、

$$ y = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sin\frac{2\pi}{3} + \cos\pi = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 1 $$

傾きは $-3$ であるから、接線の方程式は、

$$ y - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1\right) = -3\left(x - \frac{\pi}{3}\right) $$

$$ y = -3x + \pi - 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

(ii)

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき

接点の $y$ 座標は、

$$ y = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin\pi + \cos\frac{3\pi}{2} = 0 $$

傾きは $-3$ であるから、接線の方程式は、

$$ y - 0 = -3\left(x - \frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y = -3x + \frac{3\pi}{2} $$

(iii)

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき

接点の $y$ 座標は、

$$ y = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3\sin\frac{4\pi}{3} + \cos 2\pi = 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + 1 $$

傾きは $-3$ であるから、接線の方程式は、

$$ y - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + 1\right) = -3\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) $$

$$ y = -3x + 2\pi + 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

解説

• 微分法を用いて接線の傾きから接点を逆算する、微分法の標準的な問題である。
• 方程式 $f'(x) = -3$ を解く際、角が $2x$ と $3x$ で混在しているため、公式を用いて角を $x$ に統一し、さらにすべて $\sin x$ に揃える発想が重要になる。
• 導かれた3次方程式は、前後の項をペアにして共通因数でくくることで容易に因数分解できる。因数定理を用いて解を見つけてもよい。
• $0 < x < \pi$ の定義域条件を忘れると、余計な接点を計算してしまうため注意が必要である。

答え

$$ y = -3x + \pi - 1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

$$ y = -3x + \frac{3\pi}{2} $$

$$ y = -3x + 2\pi + 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} $$