東京大学 2006年 理系 第6問 解説

方針・初手

• （1）は関数 $f(x)$ を微分して単調増加であることを示し、さらに $x \to +0$ および $x \to \infty$ のときの極限を調べ、値域が実数全体であることを示す。
• （2）は逆関数の定積分 $\int_8^{27} g(x) dx$ を、そのままでは計算できないため、$x = f(y)$ と置換積分し、さらに部分積分を用いることで $f(y)$ の定積分に帰着させる。

解法1

(1) $x > 0$ において、$f(x)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{12(3e^{3x} - 3e^x)(e^{2x} - 1) - 12(e^{3x} - 3e^x) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x} - 1)^2} \\ &= \frac{12}{(e^{2x} - 1)^2} \left\{ (3e^{5x} - 3e^{3x} - 3e^{3x} + 3e^x) - (2e^{5x} - 6e^{3x}) \right\} \\ &= \frac{12}{(e^{2x} - 1)^2} (e^{5x} + 3e^x) \\ &= \frac{12e^x(e^{4x} + 3)}{(e^{2x} - 1)^2} \end{aligned} $$

$x > 0$ のとき $e^x > 1$ であるから、$f'(x) > 0$ が成り立つ。 したがって、$f(x)$ は $x > 0$ において単調に増加する。

次に、$x \to +0$ および $x \to \infty$ のときの極限を調べる。

$$ \lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} \frac{12(e^{3x} - 3e^x)}{e^{2x} - 1} $$

ここで、$x \to +0$ のとき、分母 $e^{2x} - 1 \to +0$ であり、分子 $12(e^{3x} - 3e^x) \to 12(1 - 3) = -24$ となるから、

$$ \lim_{x \to +0} f(x) = -\infty $$

また、$x \to \infty$ のとき、分子・分母を $e^{2x}$ で割ると、

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{12(e^x - 3e^{-x})}{1 - e^{-2x}} = \infty $$

関数 $f(x)$ は $x > 0$ において連続で単調増加であり、極限からその値域は $(-\infty, \infty)$、すなわち実数全体となる。 したがって、中間値の定理より、任意の実数 $a$ に対して $f(x) = a$ となる $x > 0$ がただ1つ存在する。 すなわち、関数 $y = f(x)$ ($x > 0$) は実数全体を定義域とする逆関数を持つ。

(2) $\int_8^{27} g(x) dx$ を求める。 $y = g(x)$ とおくと、$x = f(y)$ であり、$dx = f'(y) dy$ である。 $x = 8$ のとき、$f(y) = 8$ より

$$ \frac{12(e^{3y} - 3e^y)}{e^{2y} - 1} = 8 $$

$e^y = t$ ($t > 1$) とおくと、

$$ \begin{aligned} \frac{12(t^3 - 3t)}{t^2 - 1} &= 8 \\ 3(t^3 - 3t) &= 2(t^2 - 1) \\ 3t^3 - 2t^2 - 9t + 2 &= 0 \\ (t - 2)(3t^2 + 4t - 1) &= 0 \end{aligned} $$

$t > 1$ より $t = 2$ となり、$e^y = 2$ から $y = \log 2$ である。

同様に、$x = 27$ のとき、$f(y) = 27$ より

$$ \begin{aligned} \frac{12(t^3 - 3t)}{t^2 - 1} &= 27 \\ 4(t^3 - 3t) &= 9(t^2 - 1) \\ 4t^3 - 9t^2 - 12t + 9 &= 0 \\ (t - 3)(4t^2 + 3t - 3) &= 0 \end{aligned} $$

$t > 1$ より $t = 3$ となり、$e^y = 3$ から $y = \log 3$ である。

したがって、置換積分法と部分積分法を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \int_8^{27} g(x) dx &= \int_{\log 2}^{\log 3} y f'(y) dy \\ &= \Bigl[ y f(y) \Bigr]_{\log 2}^{\log 3} - \int_{\log 2}^{\log 3} f(y) dy \\ &= (\log 3) f(\log 3) - (\log 2) f(\log 2) - \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{12(e^{3y} - 3e^y)}{e^{2y} - 1} dy \\ &= 27 \log 3 - 8 \log 2 - \int_{\log 2}^{\log 3} \frac{12(e^{3y} - 3e^y)}{e^{2y} - 1} dy \end{aligned} $$

ここで、残りの定積分を $I$ とおく。再び $e^y = t$ とおくと、$e^y dy = dt$ より $dy = \frac{1}{t} dt$ であり、積分区間は $y : \log 2 \to \log 3$ から $t : 2 \to 3$ となる。

$$ \begin{aligned} I &= \int_2^3 \frac{12(t^3 - 3t)}{t^2 - 1} \cdot \frac{1}{t} dt \\ &= \int_2^3 \frac{12(t^2 - 3)}{t^2 - 1} dt \\ &= \int_2^3 12 \left( 1 - \frac{2}{t^2 - 1} \right) dt \\ &= 12 \int_2^3 \left( 1 - \frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t + 1} \right) dt \\ &= 12 \left[ t - \log |t - 1| + \log |t + 1| \right]_2^3 \\ &= 12 \left[ t - \log \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| \right]_2^3 \\ &= 12 \left\{ \left( 3 - \log \frac{2}{4} \right) - \left( 2 - \log \frac{1}{3} \right) \right\} \\ &= 12 \left( 3 - \log \frac{1}{2} - 2 - \log 3 \right) \\ &= 12 (1 + \log 2 - \log 3) \end{aligned} $$

以上より、求める定積分は

$$ \begin{aligned} \int_8^{27} g(x) dx &= 27 \log 3 - 8 \log 2 - 12 (1 + \log 2 - \log 3) \\ &= 27 \log 3 - 8 \log 2 - 12 - 12 \log 2 + 12 \log 3 \\ &= 39 \log 3 - 20 \log 2 - 12 \end{aligned} $$

解説

• 逆関数の存在証明は、「関数が単調であること」と「連続関数の値域が目的の範囲と一致すること」を示すのが基本である。微分して符号を調べ、定義域の端点での極限を計算することで示される。
• 逆関数の定積分 $\int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx$ の処理は頻出テーマである。グラフの面積としての図形的な意味を考えるか、あるいは本解のように $x = f(y)$ と置換したのち部分積分法を用いることで、元の関数 $f(y)$ の積分に持ち込むのが定石の処理となる。
• 後半の $f(y)$ の積分では、$e^y$ の固まりが見えるため、$e^y = t$ と置換することで有理関数の積分に帰着できる。分子の次数を下げ、部分分数分解を行う標準的な手順で無理なく計算を進めることができる。

答え

(1)

関数 $y=f(x)$ ($x>0$) は逆関数 $y=g(x)$ をもつ。

(2)

$39 \log 3 - 20 \log 2 - 12$