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東京大学 2009年理系第5問解説

方針・初手

（1）は累乗の形で与えられた不等式の証明である。底が正であることを確認したうえで、両辺の自然対数をとり、差をとった関数を微分して増減を調べる方針が基本となる。（2）は具体的な数値の不等式である。$0.9999 = 1 - 0.01^2$ であることに着目し、（1）で証明した不等式に $x = 0.01$ および $x = -0.01$ を代入することで導出できる。

解法1

(1)

$-1 < x < 1$ より $1-x > 0$ かつ $1+x > 0$ であるから、与えられた不等式の両辺は正である。両辺の自然対数をとると、

$$ \left(1-\frac{1}{x}\right) \log(1-x) < \frac{1}{x} \log(1+x) $$

$$ \frac{x-1}{x} \log(1-x) - \frac{1}{x} \log(1+x) < 0 $$

$$ \frac{(x-1)\log(1-x) - \log(1+x)}{x} < 0 $$

ここで、$f(x) = (x-1)\log(1-x) - \log(1+x)$ とおく。 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot \log(1-x) + (x-1) \cdot \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \\ &= \log(1-x) + 1 - \frac{1}{1+x} \\ &= \log(1-x) + \frac{x}{1+x} \end{aligned} $$

さらに $f'(x)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f''(x) &= \frac{-1}{1-x} + \frac{1 \cdot (1+x) - x \cdot 1}{(1+x)^2} \\ &= -\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1+x)^2} \\ &= \frac{-(1+x)^2 + (1-x)}{(1-x)(1+x)^2} \\ &= \frac{-(1+2x+x^2) + 1 - x}{(1-x)(1+x)^2} \\ &= \frac{-x^2-3x}{(1-x)(1+x)^2} \\ &= \frac{-x(x+3)}{(1-x)(1+x)^2} \end{aligned} $$

$-1 < x < 1$ において、$(1-x) > 0$、$(1+x)^2 > 0$、$x+3 > 0$ であるから、$f''(x)$ の符号は $-x$ の符号と一致する。したがって、$-1 < x < 0$ のとき $f''(x) > 0$、$0 < x < 1$ のとき $f''(x) < 0$ となる。これにより、$f'(x)$ は $-1 < x \leqq 0$ で単調に増加し、$0 \leqq x < 1$ で単調に減少することがわかる。よって、$x=0$ で $f'(x)$ は極大かつ最大となり、

$$ f'(0) = \log 1 + 0 = 0 $$

であるから、$-1 < x < 1$ かつ $x \neq 0$ のとき常に $f'(x) < 0$ が成り立つ。したがって、$f(x)$ は $-1 < x < 1$ において単調に減少する。 $f(0) = -\log 1 - \log 1 = 0$ であるから、

$-1 < x < 0$ のとき $f(x) > 0$ $0 < x < 1$ のとき $f(x) < 0$

となる。いずれの場合も、両辺を $x$ で割ると不等号の向きから

$$ \frac{f(x)}{x} < 0 $$

が成り立つ。これは

$$ \frac{x-1}{x} \log(1-x) < \frac{1}{x} \log(1+x) $$

と同値であり、両辺を底 $e$ の指数に乗じることで、元の不等式

$$ (1-x)^{1-\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{x}} $$

を得る。（証明終）

(2)

（1）で示した不等式

$$ (1-x)^{1-\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{x}} \cdots \text{①} $$

を利用する。

（i） ①に $x = 0.01$ を代入すると、$-1 < 0.01 < 1$ を満たすので、

$$ (1-0.01)^{1-\frac{1}{0.01}} < (1+0.01)^{\frac{1}{0.01}} $$

$$ 0.99^{1-100} < 1.01^{100} $$

$$ 0.99^{-99} < 1.01^{100} $$

両辺に正の数 $0.99^{100}$ をかけると、

$$ 0.99 < 0.99^{100} \cdot 1.01^{100} $$

$$ 0.99 < (0.99 \times 1.01)^{100} $$

$$ 0.99 < (1-0.01^2)^{100} $$

$$ 0.99 < 0.9999^{100} \cdots \text{②} $$

（ii） ①に $x = -0.01$ を代入すると、$-1 < -0.01 < 1$ を満たすので、

$$ (1-(-0.01))^{1-\frac{1}{-0.01}} < (1+(-0.01))^{\frac{1}{-0.01}} $$

$$ 1.01^{1+100} < 0.99^{-100} $$

$$ 1.01^{101} < 0.99^{-100} $$

両辺に正の数 $0.99^{101}$ をかけると、

$$ 1.01^{101} \cdot 0.99^{101} < 0.99 $$

$$ (1.01 \times 0.99)^{101} < 0.99 $$

$$ (1-0.01^2)^{101} < 0.99 $$

$$ 0.9999^{101} < 0.99 \cdots \text{③} $$

②、③より、

$$ 0.9999^{101} < 0.99 < 0.9999^{100} $$

が成り立つ。（証明終）

解説

（1）は対数微分法の考え方を応用した不等式の証明である。$x$ の正負によって割る際の不等号の向きが変わるため、分母に $x$ を残したまま関数を定義するか、場合分けを行うかの選択になるが、本解答のように関数 $f(x)$ を定めて最後に $x$ で割る形にすると見通し良くまとまる。関数が複雑な場合は、第2次導関数まで求めて極値を調べるのが定石である。（2）は、（1）の結果を利用する典型的な誘導問題である。$0.9999$ や $0.99$ といった数値を $1-x^2$ や $1 \pm x$ の形に結びつけ、$x = \pm 0.01$ を代入するという発想が鍵となる。