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北海道大学 1962年文系第6問解説

方針・初手

(1) 与えられた式の角の大きさがバラバラであるため、まずは還元公式や三角関数の加法定理、2倍角・半角の公式などを用いて角を $\theta$ や $3\theta$ に統一する。

(2) 複数の余弦が入り混じった不等式である。三角関数の和を積に直す公式や、倍角の公式を用いて共通因数を括り出し、積の形を作ることを目指す。または、すべての項を $\cos x$ の多項式で表す方針でも解くことができる。

解法1

(1) 与式の各項をそれぞれ変形する。

第1項について、還元公式 $\sin(\pi - 2\theta) = \sin 2\theta$ と積和の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} 2 \sin(\pi - 2\theta) \sin \theta &= 2 \sin 2\theta \sin \theta \\ &= -(\cos 3\theta - \cos \theta) \\ &= \cos \theta - \cos 3\theta \end{aligned} $$

となる。

第2項について、還元公式 $\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha$ と2倍角の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{3}{2} \cos \left( 6\theta - \frac{\pi}{2} \right) &= \frac{3}{2} \sin 6\theta \\ &= \frac{3}{2} \cdot 2 \sin 3\theta \cos 3\theta \\ &= 3 \sin 3\theta \cos 3\theta \end{aligned} $$

となる。

第3項について、$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ および半角の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} - 2 \cos^2 \left( \frac{\theta}{2} - \pi \right) &= - 2 \cos^2 \left( \pi - \frac{\theta}{2} \right) \\ &= - 2 \left( - \cos \frac{\theta}{2} \right)^2 \\ &= - 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \\ &= - (1 + \cos \theta) \\ &= -1 - \cos \theta \end{aligned} $$

となる。

以上を足し合わせると、与式は次のように整理できる。

$$ \begin{aligned} (\cos \theta - \cos 3\theta) + 3 \sin 3\theta \cos 3\theta + (-1 - \cos \theta) &= - \cos 3\theta + 3 \sin 3\theta \cos 3\theta - 1 \\ &= \cos 3\theta (3 \sin 3\theta - 1) - 1 \end{aligned} $$

ここで、条件 $\sin 3\theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \cos 3\theta \left(3 \cdot \frac{1}{3} - 1\right) - 1 &= \cos 3\theta (1 - 1) - 1 \\ &= -1 \end{aligned} $$

となり、$\cos 3\theta$ の値にかかわらず式の値が確定する。

(2) 与えられた不等式は以下の通りである。

$$ 2 \cos x (\cos 4x - 1) - 3 (\cos 3x + \cos x) < 0 $$

左辺の第1項について、半角の公式（2倍角の公式）より $\cos 4x - 1 = -2 \sin^2 2x$ である。

第2項の括弧内について、和を積に直す公式を用いると $\cos 3x + \cos x = 2 \cos 2x \cos x$ である。

これらを与式に代入する。

$$ 2 \cos x (-2 \sin^2 2x) - 3 (2 \cos 2x \cos x) < 0 $$

$$ -4 \cos x \sin^2 2x - 6 \cos 2x \cos x < 0 $$

共通因数である $-2 \cos x$ で括る。

$$ -2 \cos x (2 \sin^2 2x + 3 \cos 2x) < 0 $$

ここで、定義域は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ であるため、$\cos x \geqq 0$ である。

もし $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x = 0$ となり左辺は $0$ になるが、これは不等式 $0 < 0$ となり不適である。

したがって $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ であり、この範囲において $\cos x > 0$ である。

両辺を負の値 $-2 \cos x$ で割ると、不等号の向きが反転する。

$$ 2 \sin^2 2x + 3 \cos 2x > 0 $$

相互関係 $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ を用いて $\cos 2x$ の式に統一する。

$$ 2(1 - \cos^2 2x) + 3 \cos 2x > 0 $$

$$ -2 \cos^2 2x + 3 \cos 2x + 2 > 0 $$

両辺に $-1$ を掛け、因数分解を行う。

$$ 2 \cos^2 2x - 3 \cos 2x - 2 < 0 $$

$$ (2 \cos 2x + 1)(\cos 2x - 2) < 0 $$

すべての実数において $\cos 2x \leqq 1$ であるから、$\cos 2x - 2 < 0$ は常に成り立つ。

したがって、残りの因数は正でなければならない。

$$ 2 \cos 2x + 1 > 0 $$

$$ \cos 2x > -\frac{1}{2} $$

$0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ より、角 $2x$ のとり得る範囲は $0 \leqq 2x < \pi$ である。

この範囲で上記の不等式を解く。

$$ 0 \leqq 2x < \frac{2}{3}\pi $$

ゆえに、求める $x$ の範囲は以下のようになる。

$$ 0 \leqq x < \frac{\pi}{3} $$

解法2

(2) すべての項を $\cos x$ の多項式で表す方針でも解くことができる。

与式の左辺を展開し、積を和に直す公式などを用いて整理する。

$$ 2 \cos x (\cos 4x - 1) - 3 (\cos 3x + \cos x) < 0 $$

$$ 2 \cos 4x \cos x - 2 \cos x - 3 \cos 3x - 3 \cos x < 0 $$

ここで、積和の公式 $2 \cos 4x \cos x = \cos 5x + \cos 3x$ を用いる。

$$ \cos 5x + \cos 3x - 2 \cos x - 3 \cos 3x - 3 \cos x < 0 $$

$$ \cos 5x - 2 \cos 3x - 5 \cos x < 0 $$

$t = \cos x$ とおく。$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$0 \leqq t \leqq 1$ である。

3倍角の公式より $\cos 3x = 4t^3 - 3t$ である。

また、$\cos 5x$ を $t$ の多項式で表す。

$$ \begin{aligned} \cos 5x &= \cos(3x + 2x) \\ &= \cos 3x \cos 2x - \sin 3x \sin 2x \\ &= (4t^3 - 3t)(2t^2 - 1) - (3 \sin x - 4 \sin^3 x)(2 \sin x \cos x) \\ &= 8t^5 - 10t^3 + 3t - \sin^2 x (3 - 4 \sin^2 x) \cdot 2t \\ &= 8t^5 - 10t^3 + 3t - (1 - t^2) \{ 3 - 4(1 - t^2) \} \cdot 2t \\ &= 8t^5 - 10t^3 + 3t - (1 - t^2)(4t^2 - 1) \cdot 2t \\ &= 8t^5 - 10t^3 + 3t - (-4t^4 + 5t^2 - 1) \cdot 2t \\ &= 16t^5 - 20t^3 + 5t \end{aligned} $$

これらを整理した不等式に代入する。

$$ (16t^5 - 20t^3 + 5t) - 2(4t^3 - 3t) - 5t < 0 $$

$$ 16t^5 - 28t^3 + 6t < 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ 2t(8t^4 - 14t^2 + 3) < 0 $$

$$ 2t(4t^2 - 1)(2t^2 - 3) < 0 $$

$0 \leqq t \leqq 1$ において、$2t \geqq 0$ であり、$2t^2 - 3 \leqq -1 < 0$ である。

したがって、この不等式が成り立つためには、残りの因数と $2t$ について以下が成り立てばよい。

$$ t > 0 \quad \text{かつ} \quad 4t^2 - 1 > 0 $$

これより $t^2 > \frac{1}{4}$ となり、$t > 0$ であることを踏まえると $t > \frac{1}{2}$ を得る。

すなわち、

$$ \frac{1}{2} < \cos x \leqq 1 $$

定義域 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のもとでこれを解くと、以下の範囲を得る。

$$ 0 \leqq x < \frac{\pi}{3} $$

解説

(1) は、複雑に見える式を、還元公式や加法定理を利用して角を小さく（$\theta$ または $3\theta$ に）まとめることが目標となる。計算を進めると、値が与えられていない $\cos 3\theta$ の項がうまく相殺されるか、ゼロ倍される形になるよう作題されている。

(2) は、解法1のように「積の形を作る」ことを意識して、和積の公式や半角の公式を用いるのが最も計算量が少なく済む。多項式に展開する解法2も確実なアプローチだが、$\cos 5x$ の導出など計算量が増えるため、試験本番では解法1の発想ができると有利である。不等式を割る際に、$\cos x$ の符号や $0$ になる可能性に注意して議論することが重要である。