北海道大学 2021年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1)は、与えられた角 $x + \frac{2\pi}{3}$ と $2x + \frac{\pi}{3}$ を、基準となる角 $x + \frac{\pi}{6}$ を用いて表すことを考えます。加法定理や倍角の公式などの三角関数の公式を利用します。

(2)は、(1)の結果を用いて $f(x)$ を $t$ の2次関数として表し、$f(x) = 0$ から $t$ の値を求めます。このとき、$x$ の変域から $t$ のとりうる値の範囲を求めておくことが重要です。

解法1

(1)

$t = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ とおく。

$x + \frac{2\pi}{3}$ を $x + \frac{\pi}{6}$ を用いて表すと、

$$ x + \frac{2\pi}{3} = \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2} $$

となるので、$\sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ は次のように変形できる。

$$ \sin\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left\{\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}\right\} = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $$

よって、

$$ \sin^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - t^2 $$

また、$2x + \frac{\pi}{3}$ を $x + \frac{\pi}{6}$ を用いて表すと、

$$ 2x + \frac{\pi}{3} = 2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $$

となるので、2倍角の公式より、

$$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left\{2\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right\} = 1 - 2\sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 - 2t^2 $$

以上より、

$$ \sin^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1 - t^2 $$

$$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2t^2 $$

(2)

(1)の結果より、$f(x)$ を $t$ を用いて表すと、

$$ f(x) = \sqrt{3}t + 2(1 - t^2) + 4(1 - 2t^2) = -10t^2 + \sqrt{3}t + 6 $$

方程式 $f(x) = 0$ より、

$$ 10t^2 - \sqrt{3}t - 6 = 0 $$

解の公式を用いて $t$ を求めると、

$$ t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-6)}}{2 \cdot 10} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 240}}{20} = \frac{\sqrt{3} \pm 9\sqrt{3}}{20} $$

よって、

$$ t = \frac{10\sqrt{3}}{20}, \frac{-8\sqrt{3}}{20} $$

すなわち、

$$ t = \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{5} $$

次に、$t$ のとりうる値の範囲を求める。$0 \leqq x \leqq \pi$ より、$x + \frac{\pi}{6}$ のとりうる範囲は、

$$ \frac{\pi}{6} \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7\pi}{6} $$

この範囲において、$t = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ のとりうる値の範囲は、

$$ -\frac{1}{2} \leqq t \leqq 1 $$

ここで、$t = -\frac{2\sqrt{3}}{5}$ について考える。

$$ \left(-\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{12}{25} = \frac{48}{100} $$

$$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = \frac{25}{100} $$

であるから、

$$ \left(-\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 > \left(-\frac{1}{2}\right)^2 $$

ともに負の値であるから、$-\frac{2\sqrt{3}}{5} < -\frac{1}{2}$ となり、これは $t$ の範囲を満たさない。

したがって適するのは $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のみである。

$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$\frac{\pi}{6} \leqq x + \frac{\pi}{6} \leqq \frac{7\pi}{6}$ の範囲で解くと、

$$ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} $$

ゆえに、求める解は、

$$ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} $$

解説

三角関数を含む方程式の問題です。

(1)では、複数の異なる角が登場しますが、これらを一つの基準となる角（本問では $x + \frac{\pi}{6}$）に統一することが定石です。角の足し算・引き算の関係に気づけるかがポイントとなります。

(2)では、置き換えた文字 $t$ についての2次方程式を解きますが、$x$ の変域から $t$ の変域を正確に求めることが重要です。出てきた解が範囲内にあるかどうかの吟味（特に無理数を含む値の大小比較）を丁寧に行う必要があります。

答え

(1)

$$ \sin^2\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1 - t^2 $$

$$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 - 2t^2 $$

(2)

$$ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} $$