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北海道大学 1965年文系第5問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ には、角 $x$ と角 $2x$ の三角関数、さらに2乗の項が混在している。まずは半角の公式（次数下げ）と相互関係を用いて、角を $2x$ に、関数を $\cos$ に統一する。その後、$\cos 2x = t$ と置き換えて、$t$ の2次関数として扱うのが基本方針となる。置き換えを行った際は、$x$ の定義域から $t$ の定義域（変域）を求めることを忘れないようにする。

解法1

$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ および $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を $f(x)$ に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= 4 \left( 1 - \cos^2 2x - \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 2\sqrt{3} \cos 2x + \sqrt{3} - 2 \\ &= 4 \left( \frac{1}{2} - \cos^2 2x - \frac{1}{2}\cos 2x \right) + 2\sqrt{3} \cos 2x + \sqrt{3} - 2 \\ &= 2 - 4\cos^2 2x - 2\cos 2x + 2\sqrt{3} \cos 2x + \sqrt{3} - 2 \\ &= -4\cos^2 2x + 2(\sqrt{3} - 1)\cos 2x + \sqrt{3} \end{aligned} $$

ここで、$t = \cos 2x$ とおく。 $0 \leqq x \leqq \pi$ であるから、角 $2x$ のとりうる範囲は $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ となり、$t$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$ -1 \leqq t \leqq 1 $$

以降、$f(x)$ を $t$ の関数とみなし、$g(t) = -4t^2 + 2(\sqrt{3} - 1)t + \sqrt{3}$ とする。

(1)

$f(x) \leqq 0$ となる条件は、$g(t) \leqq 0$ を解けばよい。

$$ -4t^2 + 2(\sqrt{3} - 1)t + \sqrt{3} \leqq 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて不等号の向きを反転させる。

$$ 4t^2 - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} \geqq 0 $$

左辺を因数分解する。たすき掛けを用いるか、解の公式を用いて $=0$ の解を求めると因数を導ける。

$$ (2t + 1)(2t - \sqrt{3}) \geqq 0 $$

これを解くと、

$$ t \leqq -\frac{1}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} \leqq t $$

$-1 \leqq t \leqq 1$ であるから、条件を満たす $t$ の範囲は以下の2つに分けられる。

$$ -1 \leqq t \leqq -\frac{1}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} \leqq t \leqq 1 $$

$t = \cos 2x$ に戻して、$0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ の範囲でそれぞれの解を求める。

(i) $-1 \leqq \cos 2x \leqq -\frac{1}{2}$ のとき

$$ \frac{2\pi}{3} \leqq 2x \leqq \frac{4\pi}{3} $$

各辺を2で割って、

$$ \frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{2\pi}{3} $$

(ii) $\frac{\sqrt{3}}{2} \leqq \cos 2x \leqq 1$ のとき

$$ 0 \leqq 2x \leqq \frac{\pi}{6}, \quad \frac{11\pi}{6} \leqq 2x \leqq 2\pi $$

各辺を2で割って、

$$ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{12}, \quad \frac{11\pi}{12} \leqq x \leqq \pi $$

以上 (i), (ii) を合わせたものが求める範囲である。

(2)

$f(x)$ の最大値および最小値は、区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ における $g(t)$ の最大値および最小値と一致する。 $g(t)$ を平方完成する。

$$ \begin{aligned} g(t) &= -4 \left\{ t^2 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}t \right\} + \sqrt{3} \\ &= -4 \left( t - \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)^2 + 4 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)^2 + \sqrt{3} \\ &= -4 \left( t - \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)^2 + \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \\ &= -4 \left( t - \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)^2 + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \\ &= -4 \left( t - \frac{\sqrt{3} - 1}{4} \right)^2 + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

放物線 $y = g(t)$ は上に凸であり、軸は $t = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ である。 $1 < \sqrt{3} < 2$ より、$0 < \frac{\sqrt{3} - 1}{4} < \frac{1}{4}$ であるため、軸は区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ の内部に存在する。したがって、$t = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ で最大となる。

$$ \text{最大値}: g\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{4}\right) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

最小値は、軸から遠い方の区間の端点でとる。軸 $t = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ から $t = 1$ と $t = -1$ までの距離を比べると、軸が正の位置にあるため $t = -1$ の方が遠い。よって、$t = -1$ で最小となる。

$$ \text{最小値}: g(-1) = -4(-1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(-1) + \sqrt{3} = -4 - 2\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = -2 - \sqrt{3} $$

解説

三角関数が入り混じった式における最大・最小や不等式は、「角を統一する」「関数の種類を統一する」という2ステップを踏むことが基本である。本問では半角の公式（$\cos^2 x \to \cos 2x$）と三角関数の相互関係（$\sin^2 2x \to \cos 2x$）を用いることで速やかに $t$ の2次関数に帰着できる。 (1) に登場する無理数を含む2次式の因数分解は、直接たすき掛けを見つけるのが難しければ、2次方程式とみなして解の公式 $t = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2 + 16\sqrt{3}}}{8}$ から解を求めて因数定理を使う手法も確実である。