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北海道大学 1966年文系第5問解説

方針・初手

(1) は、「原始関数」が不定積分を意味することを確認し、積分定数を含んだ2次式を立てる。それが完全平方式となるように、平方完成または判別式を用いて積分定数の値を定める。 (2) は、(1) で求めた関数 $f(x)$ を用いて3次関数 $y=xf(x)$ を構成する。導関数 $y'$ を求めて $y'=0$ となる $x$ の値を $b$ を用いて表し、$b>0$ の条件に注意しながら増減表を作成して極大値を計算する。

解法1

(1)

関数 $2x-b$ の原始関数は、積分定数を $C$ とすると

$$ \int (2x - b) \,dx = x^2 - bx + C $$

と表される。これを平方完成すると

$$ x^2 - bx + C = \left(x - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + C $$

となる。これが $x$ についての完全平方式（$(x-p)^2$ の形）となるための条件は、定数部分が $0$ となることである。

$$ -\frac{b^2}{4} + C = 0 $$

よって、$C = \frac{b^2}{4}$ である。したがって、求める関数 $f(x)$ は

$$ f(x) = x^2 - bx + \frac{b^2}{4} = \left(x - \frac{b}{2}\right)^2 $$

(2)

(1) の結果より、関数 $y = xf(x)$ は以下のように表される。

$$ y = x\left(x - \frac{b}{2}\right)^2 = x\left(x^2 - bx + \frac{b^2}{4}\right) = x^3 - bx^2 + \frac{b^2}{4}x $$

両辺を $x$ で微分すると

$$ y' = 3x^2 - 2bx + \frac{b^2}{4} $$

$$ y' = \frac{1}{4}(12x^2 - 8bx + b^2) = \frac{1}{4}(6x - b)(2x - b) $$

$y' = 0$ となる $x$ の値は $x = \frac{b}{6}, \frac{b}{2}$ である。ここで、条件より $b > 0$ であるから、$\frac{b}{6} < \frac{b}{2}$ が成り立つ。したがって、$y$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\frac{b}{6}$	$\cdots$	$\frac{b}{2}$	$\cdots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$y$ は $x = \frac{b}{6}$ のときに極大となる。その極大値は

$$ y = \frac{b}{6}\left(\frac{b}{6} - \frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b}{6}\left(-\frac{b}{3}\right)^2 = \frac{b}{6} \cdot \frac{b^2}{9} = \frac{b^3}{54} $$

問題の条件より、この極大値が $4$ となればよいので

$$ \frac{b^3}{54} = 4 $$

$$ b^3 = 216 $$

$$ b^3 = 6^3 $$

$b$ は実数であるから、$b = 6$ となる。これは $b > 0$ の条件を満たしている。

解説

微積分分野の基本事項を問う標準的な問題である。 (1) では、与えられた1次関数の不定積分を計算し、生じた積分定数を「完全平方式になる」という条件から決定する。2次式が完全平方式になる条件は、平方完成して定数項を $0$ とおくか、あるいは2次方程式とみなして判別式 $D=0$ を用いる手法が定石である。 (2) では、(1) で求めた式を代入して3次関数を作り、導関数を求めて増減を調べる。文字定数 $b$ が含まれているが、$b>0$ という符号の条件が与えられているため、$y'=0$ の2つの解の大小関係が明確に定まり、場合分けをする必要がない。極値を求める際、展開する前の $y = x(x - \frac{b}{2})^2$ の形に代入して計算すると少し計算量が減る。