京都大学 2008年 文系 第1問（甲） 解説

方針・初手

$f(x) = ax^2 + bx + c$ を左辺と右辺の積分に代入し、それぞれ具体的に計算します。積分区間が $[-1, 1]$ であるため、偶関数・奇関数の性質を利用して積分の計算量を減らすことがポイントです。最後に「(右辺) $-$ (左辺) $\geqq 0$」を示すため、得られた式を平方完成し、実数の2乗の和の形に持ち込みます。

解法1

$f(x) = ax^2 + bx + c$ より、$f'(x) = 2ax + b$ である。

まず、左辺の積分を計算する。

$\{f'(x)\}^2 = (2ax + b)^2 = 4a^2 x^2 + 4ab x + b^2$ であるから、

$(1-x^2)\{f'(x)\}^2 = (1-x^2)(4a^2 x^2 + 4ab x + b^2)$

$= -4a^2 x^4 - 4ab x^3 + (4a^2 - b^2)x^2 + 4ab x + b^2$

積分区間が $[-1, 1]$ であるから、奇数次の項の定積分は $0$ になり、偶数次の項の定積分は $0$ から $1$ までの定積分の $2$ 倍になる。

$$ \int_{-1}^{1} (1-x^2)\{f'(x)\}^2 dx = 2 \int_{0}^{1} \left\{ -4a^2 x^4 + (4a^2 - b^2)x^2 + b^2 \right\} dx $$

$$ = 2 \left[ -\frac{4}{5}a^2 x^5 + \frac{4a^2 - b^2}{3}x^3 + b^2 x \right]_{0}^{1} $$

$$ = 2 \left( -\frac{4}{5}a^2 + \frac{4a^2 - b^2}{3} + b^2 \right) $$

$$ = 2 \left( -\frac{4}{5}a^2 + \frac{4}{3}a^2 - \frac{1}{3}b^2 + b^2 \right) $$

$$ = 2 \left( \frac{8}{15}a^2 + \frac{2}{3}b^2 \right) = \frac{16}{15}a^2 + \frac{4}{3}b^2 $$

次に、右辺の積分を計算する。

$\{f(x)\}^2 = (ax^2 + bx + c)^2 = a^2 x^4 + 2ab x^3 + (b^2 + 2ca) x^2 + 2bc x + c^2$

同様に偶関数・奇関数の性質を利用して、

$$ \int_{-1}^{1} \{f(x)\}^2 dx = 2 \int_{0}^{1} \left\{ a^2 x^4 + (b^2 + 2ca) x^2 + c^2 \right\} dx $$

$$ = 2 \left[ \frac{1}{5}a^2 x^5 + \frac{b^2 + 2ca}{3}x^3 + c^2 x \right]_{0}^{1} $$

$$ = 2 \left( \frac{1}{5}a^2 + \frac{1}{3}b^2 + \frac{2}{3}ca + c^2 \right) $$

$$ = \frac{2}{5}a^2 + \frac{2}{3}b^2 + \frac{4}{3}ca + 2c^2 $$

両辺の差をとり、(右辺) $-$ (左辺) を計算する。

$$ 6 \int_{-1}^{1} \{f(x)\}^2 dx - \int_{-1}^{1} (1-x^2)\{f'(x)\}^2 dx $$

$$ = 6 \left( \frac{2}{5}a^2 + \frac{2}{3}b^2 + \frac{4}{3}ca + 2c^2 \right) - \left( \frac{16}{15}a^2 + \frac{4}{3}b^2 \right) $$

$$ = \frac{12}{5}a^2 + 4b^2 + 8ca + 12c^2 - \frac{16}{15}a^2 - \frac{4}{3}b^2 $$

$$ = \left( \frac{36}{15} - \frac{16}{15} \right)a^2 + \left( \frac{12}{3} - \frac{4}{3} \right)b^2 + 8ca + 12c^2 $$

$$ = \frac{4}{3}a^2 + \frac{8}{3}b^2 + 8ca + 12c^2 $$

この式が常に $0$ 以上になることを示すため、$a$ と $c$ について平方完成を行う。

$$ = \frac{4}{3}(a^2 + 6ca + 9c^2) + \frac{8}{3}b^2 = \frac{4}{3}(a+3c)^2 + \frac{8}{3}b^2 $$

$a, b, c$ は実数であるから、$(a+3c)^2 \geqq 0$ かつ $b^2 \geqq 0$ が成り立つ。したがって、

$$ \frac{4}{3}(a+3c)^2 + \frac{8}{3}b^2 \geqq 0 $$

よって、(右辺) $-$ (左辺) $\geqq 0$ より

$$ \int_{-1}^{1} (1-x^2)\{f'(x)\}^2 dx \leqq 6 \int_{-1}^{1} \{f(x)\}^2 dx $$

が成り立つ。

解説

定積分の不等式証明において、関数が具体的に設定されている場合の標準的な計算問題です。積分区間が対称であるため、奇関数の定積分が $0$ になることを活用して項を減らすのが定石です。

展開計算が多くなりますが、最後に $a^2$ の係数である $\dfrac{4}{3}$ で括ると、きれいに $(a+3c)^2$ が現れるように問題が作られています。等号が成立するのは $a+3c=0$ かつ $b=0$ のとき、すなわち $f(x) = c(1-3x^2)$ のときです。

答え

略（解法1の証明を参照）