トップ› 北海道大学› 1971年› 文系第5問

北海道大学 1971年文系第5問解説

方針・初手

放物線上の点 $P(a, b)$ を $P(a, a^2 + a - 2)$ と表し、点 $P$ における法線の方程式を立てます。その法線が点 $(0, k)$ を通るという条件から、$k$ を $a$ の関数 $k = g(a)$ として表すことができます。 (1) では、関数 $g(a)$ の増減を調べて、関数の値域が $-1 \leqq k \leqq \frac{1}{3}$ に含まれるような $a$ の範囲を求めます。 (2) では、直線 $k = 5$ と関数 $k = g(a)$ のグラフの交点の個数を調べることで、法線の本数を求めます。

解法1

$y = x^2 + x - 2$ を微分すると $y' = 2x + 1$ となる。点 $P$ は放物線上の点であるから $P(a, a^2 + a - 2)$ であり、点 $P$ における接線の傾きは $2a + 1$ である。

(i) $2a + 1 = 0$、すなわち $a = -\frac{1}{2}$ のとき

接線は $x$ 軸に平行となり、法線は $y$ 軸に平行な直線 $x = -\frac{1}{2}$ となる。この直線上にある点はつねに $x$ 座標が $-\frac{1}{2}$ であり、点 $(0, k)$ を通ることはないため不適である。

(ii) $2a + 1 \neq 0$、すなわち $a \neq -\frac{1}{2}$ のとき

法線は接線に垂直であるから、法線の傾きは $-\frac{1}{2a + 1}$ となる。よって、法線の方程式は以下のようになる。

$$ y - (a^2 + a - 2) = -\frac{1}{2a + 1}(x - a) $$

この法線が点 $(0, k)$ を通るため、$x = 0, y = k$ を代入して整理する。

$$ k - (a^2 + a - 2) = \frac{a}{2a + 1} $$

$$ k = a^2 + a - 2 + \frac{a}{2a + 1} $$

ここで、右辺を $g(a)$ とおく。

$$ g(a) = a^2 + a - 2 + \frac{a}{2a + 1} $$

$g(a)$ を $a$ について微分する。

$$ \begin{aligned} g'(a) &= 2a + 1 + \frac{1 \cdot (2a + 1) - a \cdot 2}{(2a + 1)^2} \\ &= 2a + 1 + \frac{1}{(2a + 1)^2} \\ &= \frac{(2a + 1)^3 + 1}{(2a + 1)^2} \end{aligned} $$

$g'(a) = 0$ となるのは $(2a + 1)^3 + 1 = 0$ のときである。 $(2a + 1)^3 = -1$ を解くと $2a + 1 = -1$ となり、$a = -1$ を得る。これより、$g(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$
$g'(a)$	$-$	$0$	$+$	$\times$	$+$
$g(a)$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$\times$	$\nearrow$

極小値は $g(-1) = (-1)^2 + (-1) - 2 + \frac{-1}{-2 + 1} = -1$ である。また、$a = -\frac{1}{2}$ 付近での極限は以下のようになる。

$$ \lim_{a \to -\frac{1}{2}-0} g(a) = \infty, \quad \lim_{a \to -\frac{1}{2}+0} g(a) = -\infty $$

(1)

$k$ の値の範囲は $-1 \leqq k \leqq \frac{1}{3}$ であるため、$-1 \leqq g(a) \leqq \frac{1}{3}$ を満たす $a$ の範囲を考える。方程式 $g(a) = \frac{1}{3}$ を解く。

$$ a^2 + a - 2 + \frac{a}{2a + 1} = \frac{1}{3} $$

$a \neq -\frac{1}{2}$ より、両辺に $3(2a + 1)$ を掛けて整理する。

$$ 3(2a + 1)(a^2 + a - 2) + 3a = 2a + 1 $$

$$ 3(2a^3 + 3a^2 - 3a - 2) + a - 1 = 0 $$

$$ 6a^3 + 9a^2 - 8a - 7 = 0 $$

左辺に $a = 1$ を代入すると $6 + 9 - 8 - 7 = 0$ となるから、因数定理より $a - 1$ を因数にもつ。

$$ (a - 1)(6a^2 + 15a + 7) = 0 $$

したがって、$a = 1$ または $6a^2 + 15a + 7 = 0$ である。 2次方程式を解くと、以下の解を得る。

$$ a = \frac{-15 \pm \sqrt{225 - 168}}{12} = \frac{-15 \pm \sqrt{57}}{12} $$

ここで、$\sqrt{49} < \sqrt{57} < \sqrt{64}$ より $7 < \sqrt{57} < 8$ であるから、大小関係は以下のようになる。

$$ \frac{-15 - 8}{12} < \frac{-15 - \sqrt{57}}{12} < \frac{-15 - 7}{12} \quad \implies \quad -\frac{23}{12} < \frac{-15 - \sqrt{57}}{12} < -\frac{11}{6} < -1 $$

$$ \frac{-15 + 7}{12} < \frac{-15 + \sqrt{57}}{12} < \frac{-15 + 8}{12} \quad \implies \quad -\frac{2}{3} < \frac{-15 + \sqrt{57}}{12} < -\frac{7}{12} < -\frac{1}{2} $$

増減表と $g(-1) = -1$ であることを踏まえると、$a < -\frac{1}{2}$ において $-1 \leqq g(a) \leqq \frac{1}{3}$ を満たす範囲は $\frac{-15 - \sqrt{57}}{12} \leqq a \leqq \frac{-15 + \sqrt{57}}{12}$ である。また、$a > -\frac{1}{2}$ において $g(a) \leqq \frac{1}{3}$ を満たす範囲は $-\frac{1}{2} < a \leqq 1$ である。以上より、求める $a$ の範囲は以下の通りである。

$$ \frac{-15 - \sqrt{57}}{12} \leqq a \leqq \frac{-15 + \sqrt{57}}{12}, \quad -\frac{1}{2} < a \leqq 1 $$

(2)

点 $(0, 5)$ を通る法線の本数は、方程式 $g(a) = 5$ の実数解 $a$ の個数に等しい。（各実数解 $a$ に対して放物線上の点 $P$ がただ1つ定まり、対応する法線が1本引けるため。）

$g(a)$ の増減表をもとに、関数 $y = g(a)$ のグラフと直線 $y = 5$ の交点の個数を数える。 $a < -\frac{1}{2}$ の範囲において、$g(a)$ は $a = -1$ で極小値 $-1$ をとり、$\lim_{a \to -\frac{1}{2}-0} g(a) = \infty, \lim_{a \to -\infty} g(a) = \infty$ である。したがって、$y = g(a)$ のグラフは $a < -1$ の範囲で直線 $y = 5$ と1回、$-1 < a < -\frac{1}{2}$ の範囲で直線 $y = 5$ と1回交わる。

$a > -\frac{1}{2}$ の範囲において、$g(a)$ は単調増加であり、$\lim_{a \to -\frac{1}{2}+0} g(a) = -\infty, \lim_{a \to \infty} g(a) = \infty$ である。したがって、$y = g(a)$ のグラフは $a > -\frac{1}{2}$ の範囲で直線 $y = 5$ と1回交わる。

以上より、グラフの交点は合計3個存在するため、点 $(0, 5)$ を通る法線は3本である。

解説

法線の方程式を立てて $y$ 切片を関数とみなし、その関数の増減を調べる微分法の典型的な問題です。 (1) で登場する $a$ の3次方程式を解いた後、得られた無理数解の大きさを評価（$\sqrt{57}$ の評価）することが重要です。大小関係を的確に把握することで、増減表との整合性を確認でき、正しい範囲を導くことができます。