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北海道大学 1972年文系第6問解説

方針・初手

2定点 $A, B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおき、点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とおく。点 $P$ は $A$ と $B$ の間にあるため、$\alpha < p < \beta$ である。

放物線と直線の式から定積分を用いて面積 $S_1, S_2$ を $p, \alpha, \beta$ を用いて表し、$S_1 + S_2$ を $p$ の関数として最小値を求める。(2) は、得られた $p$ の条件を用いて、直線 $AB$ と点 $P$ における接線の傾きを比較する。

解法1

(1)

2点 $A, B$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とし、点 $P$ の $x$ 座標を $p \ (\alpha < p < \beta)$ とする。各点の座標は $A(\alpha, \alpha^2), B(\beta, \beta^2), P(p, p^2)$ である。

直線 $AP$ の方程式は、

$$ y - \alpha^2 = \frac{p^2 - \alpha^2}{p - \alpha} (x - \alpha) $$

$$ y = (p + \alpha)x - p\alpha $$

放物線と弦 $AP$ で囲まれる面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = \int_{\alpha}^{p} \{ (p + \alpha)x - p\alpha - x^2 \} dx = - \int_{\alpha}^{p} (x - \alpha)(x - p) dx $$

公式より、

$$ S_1 = \frac{1}{6} (p - \alpha)^3 $$

同様にして、直線 $PB$ の方程式は $y = (p + \beta)x - p\beta$ となり、放物線と弦 $PB$ で囲まれる面積 $S_2$ は、

$$ S_2 = - \int_{p}^{\beta} (x - p)(x - \beta) dx = \frac{1}{6} (\beta - p)^3 $$

面積の和 $S_1 + S_2$ を $S(p)$ とおくと、

$$ S(p) = \frac{1}{6} (p - \alpha)^3 + \frac{1}{6} (\beta - p)^3 $$

これを $p$ について微分すると、

$$ S'(p) = \frac{1}{2} (p - \alpha)^2 - \frac{1}{2} (\beta - p)^2 $$

$$ S'(p) = \frac{1}{2} \{ (p - \alpha) + (\beta - p) \} \{ (p - \alpha) - (\beta - p) \} $$

$$ S'(p) = \frac{1}{2} (\beta - \alpha) (2p - \alpha - \beta) $$

$\alpha < p < \beta$ において $\beta - \alpha > 0$ であるから、$S'(p) = 0$ となるのは $p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ のときである。

このとき、$S'(p)$ の符号は $p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ の前後で負から正へと変化するため、$S(p)$ は極小かつ最小となる。

したがって、面積の和が最小になる点 $P$ の $x$ 座標は $p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ である。

このとき、$p - \alpha = \frac{\beta - \alpha}{2}$、$\beta - p = \frac{\beta - \alpha}{2}$ より、$p - \alpha = \beta - p$ が成り立つ。

よって、

$$ S_1 = \frac{1}{6} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3, \quad S_2 = \frac{1}{6} \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right)^3 $$

となり、$S_1 = S_2$ である。

(2)

(1) の結果より、点 $P$ の $x$ 座標は $p = \frac{\alpha + \beta}{2}$ である。

$y = x^2$ について $y' = 2x$ であるから、点 $P(p, p^2)$ における接線の傾きは $2p$ である。

ここで $2p = \alpha + \beta$ である。

一方、直線 $AB$ の傾きは、

$$ \frac{\beta^2 - \alpha^2}{\beta - \alpha} = \alpha + \beta $$

これより、点 $P$ における放物線の接線の傾きと直線 $AB$ の傾きは等しい。すなわち、これら2直線は平行である。

したがって、点 $P$ での放物線の接線に垂直な直線は、それと平行な直線 $AB$ とも垂直に交わる。

解説

放物線と直線で囲まれた図形の面積計算において、$\frac{1}{6}$ 公式を利用すると計算量が大幅に削減できる。放物線上の2点間の面積を考える際の典型的な手法である。

(2) では、微分を利用して面積和が最小となる点 $P$ の座標を求めた結果、直線 $AB$ と点 $P$ における接線が平行になるという幾何学的な性質が現れる。これは「放物線の弓形において面積が最大（本問の補集合の面積）となる点は、弦と平行な接線の接点である」という有名事実と対応している。この性質をあらかじめ知っていれば、見通しよく解答を進めることができる。