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北海道大学 1973年文系第5問解説

方針・初手

(1)は、定積分を含む方程式の定石に従う。積分区間が定数の部分 $\int_0^1 tf(t)dt$ は定数と置き、積分区間に変数 $x$ を含む方程式は両辺を $x$ で微分して関数を求める。

(2)は、(1)で求めた $f(x)$ と $g(x)$ を代入して2次方程式を作成し、解と係数の関係を利用する。定積分の計算結果が $\beta - \alpha$ を因数にもつことに着目し、直接 $\alpha$ と $\beta$ を求めることなく式を簡略化するのがポイントである。

解法1

(1)

$\int_0^1 tf(t)dt$ は定数であるから、$C = \int_0^1 tf(t)dt$ とおく。

このとき、$f(x)$ は次のように表せる。

$$ f(x) = 4x^2 - 3ax + 4C $$

これを $C$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} C &= \int_0^1 t(4t^2 - 3at + 4C) dt \\ &= \int_0^1 (4t^3 - 3at^2 + 4Ct) dt \\ &= \left[ t^4 - a t^3 + 2C t^2 \right]_0^1 \\ &= 1 - a + 2C \end{aligned} $$

これを解いて、$C = a - 1$ を得る。

よって、$f(x)$ は次のようになる。

$$ f(x) = 4x^2 - 3ax + 4(a - 1) = 4x^2 - 3ax + 4a - 4 $$

次に、$g(x)$ についての等式を考える。

$$ g(x) + \int_0^x (t+1)g'(t)dt = x^2 + 4x + a $$

この両辺を $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} g'(x) + (x+1)g'(x) &= 2x + 4 \\ (x+2)g'(x) &= 2(x+2) \end{aligned} $$

恒等的に成り立つ関数を考えているため、$x \neq -2$ において $g'(x) = 2$ であり、連続性から $g'(x) = 2$ となる。

したがって、積分定数を $C_1$ として、$g(x)$ は次のように表せる。

$$ g(x) = 2x + C_1 $$

元の等式に $x=0$ を代入すると、

$$ g(0) + \int_0^0 (t+1)g'(t)dt = 0^2 + 4 \cdot 0 + a $$

$$ g(0) = a $$

よって、$C_1 = a$ となり、$g(x)$ は次のようになる。

$$ g(x) = 2x + a $$

(2)

(1)の結果を用いると、$f(x) - xg(x)$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f(x) - xg(x) &= (4x^2 - 3ax + 4a - 4) - x(2x + a) \\ &= 2x^2 - 4ax + 4a - 4 \end{aligned} $$

したがって、方程式 $f(x) - xg(x) = 0$ は次のようになる。

$$ 2x^2 - 4ax + 4a - 4 = 0 $$

$$ x^2 - 2ax + 2a - 2 = 0 $$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - (2a - 2) = a^2 - 2a + 2 = (a-1)^2 + 1 > 0 $$

となるため、この方程式は常に異なる2つの実数解をもつ。

解と係数の関係より、2根 $\alpha, \beta$ について以下の式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = 2a $$

$$ \alpha\beta = 2a - 2 $$

次に、$h(a)$ の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_\alpha^\beta (3x^2 - 2ax + a^2)dx &= \left[ x^3 - ax^2 + a^2x \right]_\alpha^\beta \\ &= (\beta^3 - \alpha^3) - a(\beta^2 - \alpha^2) + a^2(\beta - \alpha) \\ &= (\beta - \alpha)\{ (\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - a(\alpha + \beta) + a^2 \} \\ &= (\beta - \alpha)\{ (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta - a(\alpha + \beta) + a^2 \} \end{aligned} $$

波括弧の中に解と係数の関係から得られた値を代入する。

$$ \begin{aligned} (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta - a(\alpha + \beta) + a^2 &= (2a)^2 - (2a - 2) - a(2a) + a^2 \\ &= 4a^2 - 2a + 2 - 2a^2 + a^2 \\ &= 3a^2 - 2a + 2 \end{aligned} $$

よって、$h(a)$ は次のように整理できる。

$$ h(a) = \frac{1}{\beta - \alpha} \cdot (\beta - \alpha)(3a^2 - 2a + 2) = 3a^2 - 2a + 2 $$

これを平方完成して最小値を求める。

$$ \begin{aligned} h(a) &= 3\left(a^2 - \frac{2}{3}a\right) + 2 \\ &= 3\left(a - \frac{1}{3}\right)^2 - 3 \cdot \frac{1}{9} + 2 \\ &= 3\left(a - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{5}{3} \end{aligned} $$

したがって、$h(a)$ は $a = \frac{1}{3}$ のとき、最小値 $\frac{5}{3}$ をとる。

解説

(1)は積分方程式の典型問題である。積分区間が定数のものは定数と置き、積分区間に変数が含まれるものは微分するという基本事項を適切に組み合わせる必要がある。
$g(x)$ の導出において、積分記号の中にある $g'(t)$ を含む項をそのまま微分して $g'(x)$ として取り出す処理は頻出であるため、正確に計算したい。
(2)での定積分の計算では、式を展開してから直接 $\alpha, \beta$ を代入するのではなく、差をとることで因数 $(\beta - \alpha)$ が括り出せることに気づくと計算量が大幅に削減される。対称式・交代式の性質を活用することがポイントである。