北海道大学 1984年 文系 第4問 解説

方針・初手

(1) 放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は定積分を用いて計算する。公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ を利用すると計算がスムーズになる。求めた2つの面積を等号で結び、$b$ を $a$ について解く。

(2) 2つの放物線の共通接線を求める。接線の方程式を $y = mx + n$ とおいてそれぞれの放物線の方程式と連立し、判別式が $0$ になる条件を利用するか、一方の放物線上の点における接線がもう一方の放物線にも接する条件を利用する。傾き $m$ が負である条件に注意しつつ、接線の $y$ 切片 $n$ を $a$ で表し、極限を計算する。

解法1

(1)

放物線 $y = 1 - x^2$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$1 - x^2 = 0$ を解いて $x = \pm 1$ である。 この放物線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S_1$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx \\ &= - \int_{-1}^{1} (x - 1)(x + 1) dx \\ &= \frac{1}{6} \{ 1 - (-1) \}^3 \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

また、放物線 $y = a - bx^2$ について、$a > 0, b > 0$ より $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $a - bx^2 = 0$ を解いて $x = \pm \sqrt{\frac{a}{b}}$ である。 この放物線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S_2$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{-\sqrt{\frac{a}{b}}}^{\sqrt{\frac{a}{b}}} (a - bx^2) dx \\ &= -b \int_{-\sqrt{\frac{a}{b}}}^{\sqrt{\frac{a}{b}}} \left( x - \sqrt{\frac{a}{b}} \right) \left( x + \sqrt{\frac{a}{b}} \right) dx \\ &= -b \left[ -\frac{1}{6} \left\{ \sqrt{\frac{a}{b}} - \left( - \sqrt{\frac{a}{b}} \right) \right\}^3 \right] \\ &= \frac{b}{6} \left( 2\sqrt{\frac{a}{b}} \right)^3 \\ &= \frac{4}{3} a \sqrt{\frac{a}{b}} \end{aligned} $$

条件より $S_1 = S_2$ であるから、

$$ \frac{4}{3} = \frac{4}{3} a \sqrt{\frac{a}{b}} $$

$$ 1 = a \sqrt{\frac{a}{b}} $$

両辺は正であるから、両辺を2乗して、

$$ 1 = \frac{a^3}{b} $$

よって、

$$ b = a^3 $$

(2)

(1) の結果より、2つの放物線は $C_1 : y = 1 - x^2$ と $C_2 : y = a - a^3 x^2$ である。 求める共通接線の方程式を $y = mx + n$ （ただし $m < 0$）とする。

共通接線は $C_1$ と接するため、$1 - x^2 = mx + n$ すなわち $x^2 + mx + n - 1 = 0$ は重解をもつ。 判別式を $D_1$ とすると、$D_1 = 0$ より、

$$ m^2 - 4(n - 1) = 0 $$

$$ m^2 = 4n - 4 \cdots ① $$

同様に、共通接線は $C_2$ と接するため、$a - a^3 x^2 = mx + n$ すなわち $a^3 x^2 + mx + n - a = 0$ も重解をもつ。 判別式を $D_2$ とすると、$D_2 = 0$ より、

$$ m^2 - 4a^3(n - a) = 0 \cdots ② $$

①、②より $m^2$ を消去すると、

$$ 4n - 4 = 4a^3(n - a) $$

$$ n - 1 = a^3 n - a^4 $$

$$ (a^3 - 1)n = a^4 - 1 $$

極限 $a \to 1$ を考えるので、$a \neq 1$ としてよい。このとき $a^3 - 1 \neq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} n &= \frac{a^4 - 1}{a^3 - 1} \\ &= \frac{(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} \\ &= \frac{(a + 1)(a^2 + 1)}{a^2 + a + 1} \end{aligned} $$

このとき $n - 1 = \frac{a^4 - 1}{a^3 - 1} - 1 = \frac{a^4 - a^3}{a^3 - 1} = \frac{a^3(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a^3}{a^2 + a + 1}$ となる。 $a > 0$ より $n - 1 > 0$ であるため、①を満たす実数 $m$ は $m = \pm 2\sqrt{n - 1}$ として存在し、条件 $m < 0$ を満たすものも適切に定まる。

接線と $y$ 軸との交点の座標は $(0, n)$ である。 $a \to 1$ のときの $n$ の極限を求めると、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to 1} n &= \lim_{a \to 1} \frac{(a + 1)(a^2 + 1)}{a^2 + a + 1} \\ &= \frac{(1 + 1)(1^2 + 1)}{1^2 + 1 + 1} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

したがって、求める交点は点 $\left(0, \frac{4}{3}\right)$ に近づく。

解法2

(1)

（解法1と同じであるため省略）

(2)

放物線 $C_1 : y = 1 - x^2$ 上の点 $(t, 1 - t^2)$ における接線を考える。 $y' = -2x$ より、接線の方程式は、

$$ y - (1 - t^2) = -2t(x - t) $$

$$ y = -2tx + t^2 + 1 $$

この接線の傾きは $-2t$ であり、これが負であるから $t > 0$ である。 この直線が放物線 $C_2 : y = a - a^3 x^2$ とも接する条件を求める。

$$ a - a^3 x^2 = -2tx + t^2 + 1 $$

$$ a^3 x^2 - 2tx + t^2 + 1 - a = 0 $$

この $x$ についての2次方程式が重解をもつので、判別式を $D$ とすると $\frac{D}{4} = 0$ となる。

$$ t^2 - a^3(t^2 + 1 - a) = 0 $$

$$ (1 - a^3)t^2 - a^3(1 - a) = 0 $$

極限 $a \to 1$ を考えるので $a \neq 1$ として両辺を $1 - a \neq 0$ で割ると、

$$ (a^2 + a + 1)t^2 - a^3 = 0 $$

$$ t^2 = \frac{a^3}{a^2 + a + 1} $$

$t > 0$ であるから、これを満たす実数 $t$ は存在する。 接線と $y$ 軸との交点の $y$ 座標（$y$ 切片）は $t^2 + 1$ であるから、

$$ \begin{aligned} t^2 + 1 &= \frac{a^3}{a^2 + a + 1} + 1 \\ &= \frac{a^3 + a^2 + a + 1}{a^2 + a + 1} \end{aligned} $$

$a \to 1$ のときの極限を求めると、

$$ \begin{aligned} \lim_{a \to 1} (t^2 + 1) &= \lim_{a \to 1} \frac{a^3 + a^2 + a + 1}{a^2 + a + 1} \\ &= \frac{1 + 1 + 1 + 1}{1 + 1 + 1} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

したがって、求める交点は点 $\left(0, \frac{4}{3}\right)$ に近づく。

解説

(1) は放物線と $x$ 軸に囲まれた面積の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を用いると計算ミスを防ぎやすくなります。積分区間の端点が交点の $x$ 座標となる場合に使える強力な性質です。

(2) は共通接線の扱いがポイントです。解法1のように直線の方程式を文字でおいて判別式を2回使う方法と、解法2のように一方の放物線上の接点をおいてからもう一方の放物線と接する条件を考える方法の2つが標準的です。どちらの解法でも計算量は大きく変わりませんが、極限を取る際に「$a \to 1$ だから $a \neq 1$ として割ってよい」という論理のステップを忘れないように記述しましょう。また、傾きが負になるという条件（解法1では $m < 0$ になるような $m$ の存在、解法2では $t > 0$）の確認も厳密には必要です。

答え

(1) $b = a^3$ (2) 点 $\left(0, \frac{4}{3}\right)$