北海道大学 1993年 文系 第4問 解説

方針・初手

• 円 $C$ の方程式を求め、頂点 $A(p, q)$ が円 $C$ 上にある条件を立式する。
• (1) は、2つの放物線から $y$ を消去した2次方程式の判別式を考え、円の条件からそれが正になることを示す。
• (2) は、放物線で囲まれた面積を定積分で表し、公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を活用して $S$ を $q$ の関数として表す。

解法1

円 $C$ は中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円であるから、その方程式は

$$ x^2 + (y-1)^2 = 1 $$

である。 頂点 $A(p, q)$ は円 $C$ 上の点であるから、

$$ p^2 + (q-1)^2 = 1 $$

$$ p^2 = -q^2 + 2q $$

が成り立つ。 ここで、点 $A$ が $(0, 0)$ 以外にあるとする。もし $q = 0$ とすると $p^2 = 0$ となり $A(0,0)$ となって矛盾するため、$q \neq 0$ である。 また、円 $C$ 上の点の $y$ 座標の範囲は $0 \leqq y \leqq 2$ であるから、

$$ 0 < q \leqq 2 $$

である。

(1) $C_1: y = x^2$ と $C_2: y = -(x-p)^2 + q$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = -(x-p)^2 + q $$

の実数解である。整理すると、

$$ 2x^2 - 2px + p^2 - q = 0 $$

となる。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = p^2 - 2(p^2 - q) = -p^2 + 2q $$

ここに先ほど求めた $p^2 = -q^2 + 2q$ を代入すると、

$$ \frac{D}{4} = -(-q^2 + 2q) + 2q = q^2 $$

$0 < q \leqq 2$ より $q \neq 0$ であるから、

$$ \frac{D}{4} = q^2 > 0 $$

したがって、$D > 0$ となり、方程式は異なる2つの実数解をもつ。 よって、$C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。

(2) (1) より、2次方程式 $2x^2 - 2px + p^2 - q = 0$ の解は

$$ x = \frac{p \pm \sqrt{q^2}}{2} = \frac{p \pm q}{2} $$

となる。 $q > 0$ であるから、2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおくと、

$$ \alpha = \frac{p - q}{2}, \quad \beta = \frac{p + q}{2} $$

であり、

$$ \beta - \alpha = \frac{p + q}{2} - \frac{p - q}{2} = q $$

となる。 区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、放物線 $C_2$ は上に凸、$C_1$ は下に凸であり、2点で交わることから $C_2$ が上側にある。 したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} \{ (-(x-p)^2 + q) - x^2 \} dx $$

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} (-2x^2 + 2px - p^2 + q) dx $$

$$ S = -2 \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx $$

$$ S = -2 \left( -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right) = \frac{1}{3} (\beta - \alpha)^3 $$

$\beta - \alpha = q$ を代入すると、

$$ S = \frac{1}{3} q^3 $$

$0 < q \leqq 2$ であるから、$S$ は $q = 2$ のとき最大値をとる。 このとき、

$$ p^2 = -2^2 + 2 \cdot 2 = 0 $$

より $p = 0$ となる。 したがって、$S$ の最大値は $\frac{1}{3} \cdot 2^3 = \frac{8}{3}$ であり、そのときの $A$ の座標は $(0, 2)$ である。

解説

• 放物線同士で囲まれた面積を求める典型問題であり、いわゆる「$\frac{1}{6}$ 公式」の利用が鍵となる。
• (1) の証明過程で判別式が $\frac{D}{4} = q^2$ という完全平方式になることで、(2) での交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ が単なる $q$ という非常に簡潔な形になるよう作問されている。
• $A(p,q)$ が $(0,0)$ 以外の円上の点であるという条件から、$q>0$ をしっかり確認しておくことが論理の穴を塞ぐために重要である。

答え

(1) 題意の通り証明された。

(2) $S$ の最大値は $\frac{8}{3}$、そのときの $A$ の座標は $(0, 2)$