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北海道大学 1995年文系第4問解説

方針・初手

曲線と直線の交点を求め、位置関係（上下関係）を把握して面積を立式する。面積を $k$ の関数 $S(k)$ として表したのち、微分を用いて増減を調べ、最小値をとる $k$ を求める。積分計算では、展開してそのまま計算することも可能だが、偶関数・奇関数の性質や、積分区間に合わせた式の変形を用いると計算量を減らすことができる。

解法1

曲線 $y = x^2(x+1)$ と直線 $y = k^2(x+1)$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $$ x^2(x+1) = k^2(x+1) $$ の解である。これを変形すると、 $$ (x^2 - k^2)(x+1) = 0 $$ $$ (x-k)(x+k)(x+1) = 0 $$ となり、交点の $x$ 座標は $x = -1, -k, k$ である。

$0 \leqq k \leqq 1$ であるから、これらの大小関係は $-1 \leqq -k \leqq k$ となる。区間 $-1 \leqq x \leqq -k$ においては、$x+1 \geqq 0$ かつ $x^2 \geqq k^2$ であるため、$x^2(x+1) \geqq k^2(x+1)$ が成り立ち、曲線が直線上（または境界上）にある。区間 $-k \leqq x \leqq k$ においては、$x+1 \geqq 0$ かつ $x^2 \leqq k^2$ であるため、$x^2(x+1) \leqq k^2(x+1)$ が成り立ち、直線が曲線上（または境界上）にある。

したがって、囲まれる部分の面積 $S(k)$ は次のように立式できる。 $$ S(k) = \int_{-1}^{-k} \left\{ x^2(x+1) - k^2(x+1) \right\} dx + \int_{-k}^{k} \left\{ k^2(x+1) - x^2(x+1) \right\} dx $$

それぞれの積分を計算する。第1項の積分は、$x+1$ のかたまりを作って展開すると計算しやすい。 $$ \begin{aligned} \int_{-1}^{-k} (x^2 - k^2)(x+1) dx &= \int_{-1}^{-k} \left\{ (x+1-1)^2 - k^2 \right\}(x+1) dx \\ &= \int_{-1}^{-k} \left\{ (x+1)^3 - 2(x+1)^2 + (1-k^2)(x+1) \right\} dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}(x+1)^4 - \frac{2}{3}(x+1)^3 + \frac{1-k^2}{2}(x+1)^2 \right]_{-1}^{-k} \\ &= \frac{1}{4}(1-k)^4 - \frac{2}{3}(1-k)^3 + \frac{(1-k)(1+k)}{2}(1-k)^2 \\ &= (1-k)^3 \left\{ \frac{1-k}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1+k}{2} \right\} \\ &= (1-k)^3 \frac{3(1-k) - 8 + 6(1+k)}{12} \\ &= \frac{1}{12} (1-k)^3 (3k+1) \\ &= \frac{1}{12} (1 - 3k + 3k^2 - k^3)(3k+1) \\ &= -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \end{aligned} $$

第2項の積分は、積分区間が対称であることを利用して、偶関数・奇関数の性質を用いる。 $$ \begin{aligned} \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2)(x+1) dx &= \int_{-k}^{k} \left\{ (k^2 - x^2)x + (k^2 - x^2) \right\} dx \\ &= 0 + 2 \int_{0}^{k} (k^2 - x^2) dx \\ &= 2 \left[ k^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} \\ &= 2 \left( k^3 - \frac{1}{3}k^3 \right) \\ &= \frac{4}{3}k^3 \end{aligned} $$

これらを足し合わせて $S(k)$ を得る。 $$ \begin{aligned} S(k) &= \left( -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \right) + \frac{4}{3}k^3 \\ &= -\frac{1}{4}k^4 + 2k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \end{aligned} $$

次に、$0 \leqq k \leqq 1$ における $S(k)$ の増減を調べる。$S(k)$ を $k$ で微分すると、 $$ \begin{aligned} S'(k) &= -k^3 + 6k^2 - k \\ &= -k(k^2 - 6k + 1) \end{aligned} $$ $S'(k) = 0$ とすると、$k = 0$ または $k^2 - 6k + 1 = 0$ である。 $k^2 - 6k + 1 = 0$ を解くと、$k = 3 \pm 2\sqrt{2}$ となる。 $2 < \sqrt{8} < 3$ より $2 < 2\sqrt{2} < 3$ であるから、$0 < 3 - 2\sqrt{2} < 1$ であり、もう一つの解 $3 + 2\sqrt{2}$ は区間外である。

したがって、$0 \leqq k \leqq 1$ において $S'(k)$ の符号は以下のようになる。区間 $0 < k < 3 - 2\sqrt{2}$ では $k^2 - 6k + 1 > 0$ かつ $-k < 0$ より、$S'(k) < 0$ 区間 $3 - 2\sqrt{2} < k < 1$ では $k^2 - 6k + 1 < 0$ かつ $-k < 0$ より、$S'(k) > 0$

ゆえに、$S(k)$ は $k = 3 - 2\sqrt{2}$ で極小かつ最小となる。

解説

グラフの上下関係を正確に把握し、面積を定積分で表して微分するという、面積の最大・最小問題の定石に従う問題である。被積分関数を展開してそのまま積分しても正解に辿り着けるが、少し計算が煩雑になる。解答のように、$x+1$ の項に着目して平行移動的な変形を行ったり、$-k$ から $k$ までの積分で偶関数・奇関数の性質を利用したりすることで、計算ミスを防ぎやすくなる。計算量の工夫が重要になる典型的な例題といえる。