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大阪大学 1975年文系第3問解説

方針・初手

3次方程式の根が連続した3整数であることを利用して、方程式を因数分解された形で表す。その後、図形の面積が平行移動によって変わらない性質を利用し、関数を最も簡単な形に平行移動してから極小点、接線、面積の計算を行う。

解法1

連続する3整数を $n-1, n, n+1$ （$n$ は整数）とおく。

与えられた3次方程式の左辺を $f(x)$ とおくと、最高次の係数が $1$ であるから、次のように表すことができる。

$$ f(x) = (x - (n-1))(x - n)(x - (n+1)) $$

これを展開して整理する。

$$ f(x) = (x - n) \{ (x - n)^2 - 1 \} = (x - n)^3 - (x - n) $$

曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $-n$ だけ平行移動した曲線を $C$ とすると、$C$ の方程式は以下のようになる。

$$ y = x^3 - x $$

求める面積は平行移動しても変わらないため、以降は曲線 $C$ とその極小点における接線で囲まれる図形の面積を求める。

$g(x) = x^3 - x$ とおく。

$$ g'(x) = 3x^2 - 1 $$

$g'(x) = 0$ とすると $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり、増減表（またはグラフの形状）を考えると $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で極小となる。

極小値は以下の通り計算できる。

$$ g\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{3}{3\sqrt{3}} = - \frac{2}{3\sqrt{3}} $$

したがって、極小点における接線 $\ell$ の方程式は定数関数となる。

$$ y = - \frac{2}{3\sqrt{3}} $$

次に、曲線 $C$ と接線 $\ell$ の共有点の $x$ 座標を求める。

$$ x^3 - x = - \frac{2}{3\sqrt{3}} $$

$$ x^3 - x + \frac{2}{3\sqrt{3}} = 0 $$

曲線 $C$ と接線 $\ell$ は $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ で接するため、左辺は $\left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2$ を因数にもつ。因数分解を行うと以下のようになる。

$$ \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \left( x + \frac{2}{\sqrt{3}} \right) = 0 $$

ゆえに、接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = - \frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

区間 $- \frac{2}{\sqrt{3}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{3}}$ において、$\left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \ge 0$ かつ $x + \frac{2}{\sqrt{3}} \ge 0$ であるから、曲線 $C$ は接線 $\ell$ の上側（または境界上）にある。

したがって、求める面積 $S$ は次のように立式できる。

$$ S = \int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left\{ (x^3 - x) - \left( - \frac{2}{3\sqrt{3}} \right) \right\} dx $$

$$ = \int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \left( x + \frac{2}{\sqrt{3}} \right) dx $$

ここで、被積分関数の因数を $x + \frac{2}{\sqrt{3}} = \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \frac{3}{\sqrt{3}} = \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \sqrt{3}$ と変形して展開する。

$$ S = \int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \left\{ \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \sqrt{3} \right\} dx $$

$$ = \int_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left\{ \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 + \sqrt{3} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right\} dx $$

$$ = \left[ \frac{1}{4} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^4 + \frac{\sqrt{3}}{3} \left( x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 \right]_{-\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} $$

下端の値を代入して計算を進める。

$$ S = 0 - \left\{ \frac{1}{4} \left( - \frac{3}{\sqrt{3}} \right)^4 + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( - \frac{3}{\sqrt{3}} \right)^3 \right\} $$

$$ = - \left\{ \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt{3})^4 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^3 \right\} $$

$$ = - \left( \frac{9}{4} - 3 \right) $$

$$ = \frac{3}{4} $$

解法2

曲線と接線の共有点の $x$ 座標を求める過程までは、解法1と同じである。

一般に、3次関数 $y = p x^3 + \cdots$ とその接線によって囲まれる図形の面積について、接点の $x$ 座標を $\beta$、もう一つの交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、面積 $S$ は以下の公式で求められる。

$$ S = \frac{|p|}{12} |\beta - \alpha|^4 $$

本問では、$p=1$、$\alpha = -\frac{2}{\sqrt{3}}$、$\beta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから、これを公式に当てはめる。

$$ S = \frac{1}{12} \left| \frac{1}{\sqrt{3}} - \left( - \frac{2}{\sqrt{3}} \right) \right|^4 $$

$$ = \frac{1}{12} \left( \frac{3}{\sqrt{3}} \right)^4 $$

$$ = \frac{1}{12} (\sqrt{3})^4 $$

$$ = \frac{1}{12} \times 9 = \frac{3}{4} $$

解説

本問の最大のポイントは「図形の面積は平行移動しても不変である」という性質を利用して、計算対象の関数を単純化することである。そのまま $n$ を含んだ状態で計算しても答えは導けるが、式が煩雑になり計算ミスを誘発しやすい。

定積分の計算において、$\int (x-\alpha)^2 (x-\beta) dx$ の形が現れた場合、解法1のように $(x-\beta) = (x-\alpha) + (\alpha-\beta)$ と変形して展開する手法が非常に有効である。展開後の項ごとの積分が容易になり、上端または下端を代入したときに $0$ となる項が増えるため、計算量が劇的に減る。

また、解法2で示したように、3次関数とその接線で囲まれる面積はいわゆる「12分の1公式」を用いることで迅速に求められる。結果のみが求められる場合や、検算の手段として強力なツールとなる。