北海道大学 2004年 文系 第1問 解説

方針・初手

$x^8-y^8$ をそのまま $a$ の式に展開すると重い。まず

$$ x=a+\frac{1}{a},\qquad y=a-\frac{1}{a} $$

から $x+y,\ x-y,\ x^2+y^2,\ x^4+y^4$ を順に整理し、$x^8-y^8$ を単調増加な1変数関数に落とす。

解法1

与えられた

$$ x=a+\frac{1}{a},\qquad y=a-\frac{1}{a} $$

より、

$$ x+y=2a,\qquad x-y=\frac{2}{a} $$

したがって

$$ (x+y)(x-y)=4 $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} x^2&=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2,\\ y^2&=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{1}{a^2}-2 \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ A=a^2+\frac{1}{a^2} $$

とおくと

$$ x^2=A+2,\qquad y^2=A-2 $$

だから、

$$ x^2+y^2=2A $$

さらに

$$ \begin{aligned} x^4+y^4&=(x^2)^2+(y^2)^2\\ &=(A+2)^2+(A-2)^2\\ &=2A^2+8 \end{aligned} $$

を得る。

よって

$$ \begin{aligned} x^8-y^8 &=(x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)\\ &=(2A^2+8)\cdot 2A\cdot 4\\ &=16A(A^2+4) \end{aligned} $$

となる。

$a>0$ より相加平均・相乗平均の関係から

$$ A=a^2+\frac{1}{a^2}\geqq 2 $$

であり、等号は

$$ a^2=\frac{1}{a^2} $$

すなわち $a=1$ のときに限り成り立つ。

ここで

$$ f(A)=16A(A^2+4) $$

とおくと、$A\geqq 2$ において $f(A)$ は増加するので、$x^8-y^8$ は $A=2$ のとき最小になる。

したがって最小値を与えるのは $a=1$ のときであり、その最小値は

$$ 16\cdot 2\cdot (2^2+4)=16\cdot 2\cdot 8=256 $$

である。

解説

対称式へ直してから1変数化する標準問題である。$a+\frac1a,\ a-\frac1a$ が見えたら、和と差を先に計算し、積

$$ (x+y)(x-y) $$

や

$$ a^2+\frac1{a^2} $$

に集約できないかを見るのが最短である。

答え

$a=1$ のとき最小で、最小値は $256$