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京都大学 1975年文系第5問解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が $x>0$ の範囲で常にとる値が正であるための条件を求める問題だ。

$x>0$ における $f(x)$ の増減を調べ、その区間における最小値が正（$>0$）となるような定数 $a$ の条件を導く。

また、定数 $a$ を分離して $a > -x^3 + 5x^2 - 3x$ と変形し、右辺の関数の最大値から条件を求めるアプローチ（定数分離）も有効な手法だ。

解法1

$f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + a$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 10x + 3 $$

$$ f'(x) = (3x - 1)(x - 3) $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = \frac{1}{3}, 3$ である。 $x > 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	$a-9$	$\nearrow$

ここで、$x=3$ のときの $f(x)$ の値は、

$$ f(3) = 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + a = 27 - 45 + 9 + a = a - 9 $$

増減表より、$x > 0$ における $f(x)$ は $x=3$ で最小値 $a-9$ をとる。 $x > 0$ のすべての値に対して $f(x) > 0$ となるための必要十分条件は、この区間における最小値が正となることだ。

$$ a - 9 > 0 $$

これを解いて、

$$ a > 9 $$

解法2

$x > 0$ において常に $x^3 - 5x^2 + 3x + a > 0$ が成り立つことは、次のように定数 $a$ を分離した不等式が常に成り立つことと同値である。

$$ a > -x^3 + 5x^2 - 3x $$

ここで、$g(x) = -x^3 + 5x^2 - 3x$ とおく。 $x > 0$ のすべての値に対して $a > g(x)$ が成り立つためには、$x > 0$ における $g(x)$ の最大値よりも $a$ が大きければよい（必要十分条件）。 $g(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ g'(x) = -3x^2 + 10x - 3 = -(3x - 1)(x - 3) $$

$g'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = \frac{1}{3}, 3$ である。 $x > 0$ における $g(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$(0)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$9$	$\searrow$

ここで、$x=3$ のときの $g(x)$ の値は、

$$ g(3) = -27 + 45 - 9 = 9 $$

増減表より、$x > 0$ における $g(x)$ は $x=3$ で最大値 $9$ をとる。したがって、常に $a > g(x)$ となるための条件は、

$$ a > 9 $$

解説

不等式が「ある区間で常に成り立つ（絶対不等式）」ための条件を求める微分積分の典型問題だ。解法1のように「(関数の最小値) $> 0$」と考えるアプローチが基本だが、解法2のように定数項を分離して「(定数) $>$ (関数の最大値)」と捉える「定数分離」の手法も応用範囲が広く重要だ。定数分離を用いると、文字定数が関数の形や微分計算に影響を与えないため、グラフの形状が固定され、視覚的にも論理的にも見通しが良くなる。