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北海道大学 1966年理系第5問解説

方針・初手

(1)は分母を払って恒等式をつくり、係数比較法によって未定係数を決定する。
(2)は分母が $x^2 + a^2$ の形であるため、$x = a \tan \theta$ と置換する典型的な定積分である。
(3)は被積分関数を2つの項に分け、前半の有理関数部分は(1)の部分分数分解を利用して積分し、後半の $x e^x$ は部分積分法を用いて計算する。

解法1

(1)

与えられた等式の両辺に $(2x + 1)(x^2 + 4)$ を掛けると、

$$ 3x - 7 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x + 1) $$

が得られる。この等式が $x$ についての恒等式になればよい。右辺を展開して $x$ について整理すると、

$$ 3x - 7 = (A + 2B)x^2 + (B + 2C)x + 4A + C $$

両辺の係数を比較して、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} A + 2B = 0 \\ B + 2C = 3 \\ 4A + C = -7 \end{cases} $$

第1式より $A = -2B$。これを第3式に代入すると、$-8B + C = -7$ となる。これと第2式 $B + 2C = 3$ を連立して解く。第2式より $B = 3 - 2C$ とし、$-8B + C = -7$ に代入すると、

$$ -8(3 - 2C) + C = -7 $$

$$ -24 + 16C + C = -7 $$

$$ 17C = 17 $$

よって $C = 1$。このとき、$B = 3 - 2 \cdot 1 = 1$ であり、$A = -2 \cdot 1 = -2$ となる。

ゆえに、$A = -2, B = 1, C = 1$ である。

(2)

求める定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^2 \frac{dx}{x^2 + 4} $$

$x = 2 \tan \theta$ と置換する。

$$ dx = \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta $$

であり、積分区間は $x$ が $0$ から $2$ に変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ に変化する。

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4\tan^2 \theta + 4} \cdot \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta $$

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4(1 + \tan^2 \theta)} \cdot \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta $$

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ であるから、

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 \theta}{4} \cdot \frac{2}{\cos^2 \theta} d\theta $$

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} d\theta $$

$$ I = \left[ \frac{1}{2} \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} $$

(3)

求める定積分を $J$ とおく。

$$ J = \int_0^2 \left\{ \frac{3x - 7}{(2x + 1)(x^2 + 4)} + xe^x \right\} dx $$

(1) の結果より、

$$ \frac{3x - 7}{(2x + 1)(x^2 + 4)} = \frac{-2}{2x + 1} + \frac{x + 1}{x^2 + 4} $$

であるから、

$$ J = \int_0^2 \left( \frac{-2}{2x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} + \frac{1}{x^2 + 4} + xe^x \right) dx $$

定積分をそれぞれの項に分けて計算する。

$$ J = \int_0^2 \frac{-2}{2x + 1} dx + \int_0^2 \frac{x}{x^2 + 4} dx + \int_0^2 \frac{1}{x^2 + 4} dx + \int_0^2 xe^x dx $$

1つ目の積分：

$$ \int_0^2 \frac{-2}{2x + 1} dx = \left[ -\log|2x + 1| \right]_0^2 = -\log 5 + \log 1 = -\log 5 $$

2つ目の積分：

$$ \int_0^2 \frac{x}{x^2 + 4} dx = \left[ \frac{1}{2} \log(x^2 + 4) \right]_0^2 = \frac{1}{2} \log 8 - \frac{1}{2} \log 4 = \frac{3}{2} \log 2 - \log 2 = \frac{1}{2} \log 2 $$

3つ目の積分は (2) の結果より、

$$ \int_0^2 \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{\pi}{8} $$

4つ目の積分は部分積分法を用いて、

$$ \int_0^2 xe^x dx = \int_0^2 x(e^x)' dx = \left[ xe^x \right]_0^2 - \int_0^2 e^x dx $$

$$ \int_0^2 xe^x dx = 2e^2 - \left[ e^x \right]_0^2 = 2e^2 - (e^2 - e^0) = e^2 + 1 $$

これらをすべて足し合わせると、

$$ J = -\log 5 + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{\pi}{8} + e^2 + 1 $$

$$ J = e^2 + 1 + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2} \log 2 - \log 5 $$

解説

(1)の恒等式の問題では、分母を払った後に特定の数値（例えば $x = -1/2, 0, 1$ など）を代入して係数を求める「数値代入法」を用いることも有効である。その場合、計算量が減るメリットがあるが、求めた係数に対する十分性の確認を忘れないようにする必要がある。
(2)は $\frac{1}{x^2 + a^2}$ 型の積分の基本であり、$x = a \tan \theta$ の置換積分が必須となる。確実に得点したい問題である。
(3)の有理関数の積分は、部分分数分解によって基本的な積分の形である $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + C$ に帰着させるのが定石である。後半の指数関数を含む積分は部分積分の標準的な問題である。(1)と(2)が(3)の誘導になっていることに気づけば、見通しよく計算を進めることができる。