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北海道大学 1972年理系第6問解説

方針・初手

点 $P(x, f(x))$ における接線の方程式を立式し、$x$ 軸との交点の $x$ 座標 $u$ を $x$ と $f(x)$、$f'(x)$ を用いて表す。与えられた $u$ と $x$ の関係式から $f(x)$ に関する等式を導き、両辺を積分して初期条件 $f(2) = 1$ を用いて関数を決定する。

解法1

点 $P(x, f(x))$ における接線の方程式は、接線上の点を $(X, Y)$ とすると次のように表される。

$$ Y - f(x) = f'(x) (X - x) $$

$y > 0$ の範囲において、もし $f'(x) = 0$ とすると接線は $x$ 軸と平行になり交点を持たないため不適である。したがって、$f'(x) \neq 0$ である。接線と $x$ 軸との交点 $(u, 0)$ の座標を代入すると、

$$ 0 - f(x) = f'(x) (u - x) $$

$$ u - x = -\frac{f(x)}{f'(x)} $$

を得る。

(1)

$u - x = 2$ であるから、上で求めた式に代入して、

$$ -\frac{f(x)}{f'(x)} = 2 $$

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{2} $$

両辺を $x$ で積分すると、

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \left( -\frac{1}{2} \right) dx $$

$f(x) > 0$ であるから、積分定数を $C$ として、

$$ \log f(x) = -\frac{1}{2}x + C $$

$$ f(x) = e^{-\frac{1}{2}x + C} $$

ここで、初期条件 $f(2) = 1$ を代入すると、

$$ 1 = e^{-1 + C} $$

$$ -1 + C = 0 \iff C = 1 $$

よって、求める関数は以下のようになる。これは $x > 0$ において $f(x) > 0$ を満たす。

$$ f(x) = e^{1 - \frac{x}{2}} $$

(2)

$ux = 2$ より $u = \frac{2}{x}$ であるから、これを $u - x = -\frac{f(x)}{f'(x)}$ に代入して、

$$ \frac{2}{x} - x = -\frac{f(x)}{f'(x)} $$

$$ \frac{2 - x^2}{x} = -\frac{f(x)}{f'(x)} $$

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x}{x^2 - 2} $$

両辺を $x$ で積分すると、積分定数を $C_1$ として、

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{x}{x^2 - 2} dx $$

$$ \log f(x) = \frac{1}{2} \log |x^2 - 2| + C_1 $$

ここで、初期条件 $f(2) = 1$ を用いる。$x = 2$ のとき $x^2 - 2 = 2 > 0$ であり、$f(x) > 0$ を満たすため、解が存在する区間として $x > \sqrt{2}$ の範囲を考える。

$$ \log 1 = \frac{1}{2} \log (2^2 - 2) + C_1 $$

$$ 0 = \frac{1}{2} \log 2 + C_1 \iff C_1 = -\frac{1}{2} \log 2 $$

これをもとの式に代入すると、

$$ \log f(x) = \frac{1}{2} \log (x^2 - 2) - \frac{1}{2} \log 2 $$

$$ \log f(x) = \log \sqrt{\frac{x^2 - 2}{2}} $$

$$ f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2}{2}} $$

この関数は $x > \sqrt{2}$ において確かに $f(x) > 0$ を満たす。

解説

接線の $x$ 切片を関数 $f(x)$ と導関数 $f'(x)$ を用いて表し、等式を立てて積分する数学IIIの典型的な問題である。両辺を積分して一般解を求めた後、与えられた条件 $f(2) = 1$ から積分定数を決定する。 (2) においては、真数条件や絶対値の扱い、および $y > 0$ という条件から定義域が $x > \sqrt{2}$ に制限されることに注意したい。