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北海道大学 1978年理系第5問解説

方針・初手

関数が特定の点で極値をとるための必要条件である $f'(x)=0$ を用いて未知数 $a, b$ を決定する。さらに、求めた $a, b$ の値について、実際に条件を満たす極小値となるかどうかの十分性を増減表を用いて確認する。後半の面積計算では、有理関数の積分における定石通り、被積分関数の分子の次数を分母の次数より小さくなるように変形（多項式の割り算）してから積分を実行する。

解法1

(1)

$f(x) = \frac{ax^2+bx+a+1}{x^2+1}$ について、商の微分公式を用いて導関数 $f'(x)$ を求める。

$$ f'(x) = \frac{(2ax+b)(x^2+1) - (ax^2+bx+a+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} $$

分子を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} & (2ax^3+2ax+bx^2+b) - (2ax^3+2bx^2+2ax^2+2x) \\ &= -bx^2 - 2ax^2 + 2ax^2 - 2x + b \\ &= -bx^2 - 2x + b \end{aligned} $$

したがって、導関数は次のようになる。

$$ f'(x) = \frac{-bx^2 - 2x + b}{(x^2+1)^2} $$

$f(x)$ が $x = -\sqrt{3}$ で極小値をとるためには、$f'(-\sqrt{3}) = 0$ であることが必要である。

$$ \frac{-b(-\sqrt{3})^2 - 2(-\sqrt{3}) + b}{(-\sqrt{3})^2+1)^2} = 0 $$

$$ \frac{-3b + 2\sqrt{3} + b}{16} = 0 $$

分子が $0$ となることから、

$$ -2b + 2\sqrt{3} = 0 $$

$$ b = \sqrt{3} $$

また、このとき $x = -\sqrt{3}$ における関数値が $0$ であるから、$f(-\sqrt{3}) = 0$ である。

$$ \frac{a(-\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}(-\sqrt{3}) + a + 1}{(-\sqrt{3})^2+1} = 0 $$

$$ \frac{3a - 3 + a + 1}{4} = 0 $$

分子が $0$ となることから、

$$ 4a - 2 = 0 $$

$$ a = \frac{1}{2} $$

逆に $a = \frac{1}{2}, b = \sqrt{3}$ のとき、$f(x)$ と $f'(x)$ は次のようになる。

$$ f(x) = \frac{\frac{1}{2}x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{2}}{x^2+1} = \frac{x^2+2\sqrt{3}x+3}{2(x^2+1)} = \frac{(x+\sqrt{3})^2}{2(x^2+1)} $$

$$ f'(x) = \frac{-\sqrt{3}x^2 - 2x + \sqrt{3}}{(x^2+1)^2} = \frac{-(\sqrt{3}x-1)(x+\sqrt{3})}{(x^2+1)^2} $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、$f(x)$ の増減表は以下の通りとなる。

$x$	$\cdots$	$-\sqrt{3}$	$\cdots$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は確かに $x = -\sqrt{3}$ で極小値 $0$ をとる。したがって、求めた $a, b$ の値は適する。

(2)

(1)の増減表より、$f(x)$ が極大となる $x$ の値 $c$ は、

$$ c = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{3}$ において、$f(x) = \frac{(x+\sqrt{3})^2}{2(x^2+1)} > 0$ である。したがって、求める面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} f(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{x^2+2\sqrt{3}x+3}{2(x^2+1)} \, dx $$

被積分関数について、分子を分母で割り、次数を下げるように変形する。

$$ \begin{aligned} \frac{x^2+2\sqrt{3}x+3}{2(x^2+1)} &= \frac{(x^2+1) + 2\sqrt{3}x + 2}{2(x^2+1)} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} \end{aligned} $$

したがって、定積分は次のように分けて計算できる。

$$ S = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{1}{2} \, dx + \sqrt{3} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{x}{x^2+1} \, dx + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x^2+1} \, dx $$

各項の積分を求める。第1項は、

$$ \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{1}{2} \, dx = \left[ \frac{1}{2}x \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} $$

第2項は、分母の微分が分子に含まれる形であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{3} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{x}{x^2+1} \, dx &= \sqrt{3} \left[ \frac{1}{2} \log(x^2+1) \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \log\left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \log 1 \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \log \frac{4}{3} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} (2\log 2 - \log 3) \end{aligned} $$

第3項について、$x = \tan \theta$ とおくと、$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ であり、積分区間は $x=0 \to \frac{\sqrt{3}}{3}$ に対応して $\theta=0 \to \frac{\pi}{6}$ となる。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{1}{x^2+1} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \, d\theta \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 \, d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

以上より、求める面積 $S$ はこれらを足し合わせて、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} (2\log 2 - \log 3) + \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} + \sqrt{3}\log 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\log 3 + \frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

解説

数学IIIの微分法と積分法の標準的な問題である。 (1) では、極値をとるための必要条件 $f'(-\sqrt{3})=0$ から候補を絞り込んだのち、実際に極小値となるかの十分性の確認（増減表の作成など）を忘れないことが重要である。 (2) は有理関数の積分の定石である「分子の次数を分母より下げる」操作がメインとなる。変形後の積分では、$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \log|f(x)|$ を用いる形と、$x=\tan \theta$ と置換する $\int \frac{1}{x^2+1}dx$ の形という、頻出の2つの積分パターンを正確に処理する計算力が求められる。