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名古屋大学 1975年理系第4問解説

方針・初手

2つのグラフの交点の $x$ 座標を求め、区間ごとの上下関係を把握して囲まれる部分の面積 $S(k)$ を定積分で立式します。その後、$S(k)$ を $k$ の関数として微分し、増減表を作成して最小値を求めます。

解法1

曲線 $y = x^2(x+1)$ と直線 $y = k^2(x+1)$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $$ x^2(x+1) = k^2(x+1) $$ の解である。これを変形すると、 $$ (x+1)(x^2 - k^2) = 0 $$ $$ (x+1)(x - k)(x + k) = 0 $$ となるため、交点の $x$ 座標は $x = -1, -k, k$ である。

条件より $0 \leqq k \leqq 1$ であるから、これら3つの解の大小関係は $$ -1 \leqq -k \leqq k $$ となる。区間 $-1 \leqq x \leqq -k$ においては $x^2 \geqq k^2$ かつ $x+1 \geqq 0$ より $x^2(x+1) \geqq k^2(x+1)$ となるため、曲線が直線の上側（または一致）にある。一方、区間 $-k \leqq x \leqq k$ においては $x^2 \leqq k^2$ かつ $x+1 \geqq 0$ より $x^2(x+1) \leqq k^2(x+1)$ となるため、直線が曲線の上側（または一致）にある。

したがって、囲まれる部分の面積を $S(k)$ とすると、$S(k)$ は次のように立式できる。 $$ S(k) = \int_{-1}^{-k} \{ x^2(x+1) - k^2(x+1) \} dx + \int_{-k}^{k} \{ k^2(x+1) - x^2(x+1) \} dx $$

それぞれの定積分を計算する。前半の積分は、 $$ \int_{-1}^{-k} (x^3 + x^2 - k^2x - k^2) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 - k^2x \right]_{-1}^{-k} $$ $$ = \left( \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^4 + k^3 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}k^2 + k^2 \right) $$ $$ = \left( -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 \right) - \left( \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{12} \right) $$ $$ = -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} $$ となる。

後半の積分は、積分区間が原点対称であることを利用して計算すると、 $$ \int_{-k}^{k} (k^2x + k^2 - x^3 - x^2) dx = 2 \int_{0}^{k} (k^2 - x^2) dx $$ $$ = 2 \left[ k^2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} $$ $$ = 2 \left( k^3 - \frac{1}{3}k^3 \right) $$ $$ = \frac{4}{3}k^3 $$ となる。

これらを足し合わせて面積 $S(k)$ を求める。 $$ S(k) = \left( -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \right) + \frac{4}{3}k^3 $$ $$ = -\frac{1}{4}k^4 + 2k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} $$

次に、$S(k)$ の最小値を求めるために $k$ で微分する。 $$ S'(k) = -k^3 + 6k^2 - k $$ $$ = -k(k^2 - 6k + 1) $$

$S'(k) = 0$ とすると、$k=0$ または $k = 3 \pm \sqrt{3^2 - 1} = 3 \pm 2\sqrt{2}$ である。 $2 < 2\sqrt{2} = \sqrt{8} < 3$ より、$0 < 3 - 2\sqrt{2} < 1$ であり、$3 + 2\sqrt{2} > 1$ である。したがって、$0 \leqq k \leqq 1$ の範囲において $S'(k) = 0$ となるのは $k=0$ および $k = 3 - 2\sqrt{2}$ のときである。

$0 \leqq k \leqq 1$ における $S(k)$ の増減表は以下のようになる。

$k$	$0$	$\cdots$	$3 - 2\sqrt{2}$	$\cdots$	$1$
$S'(k)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$S(k)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

増減表より、$S(k)$ は $k = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき最小となる。

解説

2つの関数の差を定積分して面積を求める標準的な問題です。積分の計算において、区間が $[-k, k]$ となる部分では、奇関数と偶関数の性質（$\int_{-a}^{a} x^{2n+1} dx = 0$、$\int_{-a}^{a} x^{2n} dx = 2 \int_{0}^{a} x^{2n} dx$）を利用することで計算ミスを減らすことができます。極値をとる $k$ の値を求める際、それが定義域 $0 \leqq k \leqq 1$ の範囲内にあるかどうかの評価（$\sqrt{8}$ の評価）を忘れないようにしましょう。