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北海道大学 1983年理系第3問解説

方針・初手

方程式を $f(x)=0$ の形に変形し、関数 $f(x)$ の指定された区間における増減と両端での値の符号を調べる。これにより中間値の定理を用いて解の存在と一意性を示す。後半では、前半で得られた不等式からはさみうちの原理を用いて $x_n$ の極限を求め、元の方程式を利用して $n x_n$ の極限に帰着させる。

解法1

(1)

与えられた方程式 $x = \log x + \log n$ は $x = \log(nx)$ と変形できる。

$$ f(x) = x - \log(nx) $$

とおく。対数の真数条件より $x > 0$ である。$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} $$

となる。

ここで、考える区間は $\frac{1}{n} \leqq x \leqq \frac{e}{n}$ である。$n$ は $n \geqq 3$ なる自然数であるため、この区間における $x$ の最大値は $\frac{e}{n}$ であり、

$$ \frac{e}{n} \leqq \frac{e}{3} < \frac{3}{3} = 1 $$

が成り立つ。したがって、区間 $\frac{1}{n} \leqq x \leqq \frac{e}{n}$ において常に $x < 1$ であり、$f'(x) < 0$ となる。ゆえに、$f(x)$ はこの区間で単調に減少する。

次に、区間の両端における $f(x)$ の値を調べる。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{n}\right) &= \frac{1}{n} - \log\left(n \cdot \frac{1}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n} - \log 1 \\ &= \frac{1}{n} > 0 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{e}{n}\right) &= \frac{e}{n} - \log\left(n \cdot \frac{e}{n}\right) \\ &= \frac{e}{n} - \log e \\ &= \frac{e}{n} - 1 \end{aligned} $$

ここでも $n \geqq 3 > e$ より $\frac{e}{n} < 1$ であるから、

$$ f\left(\frac{e}{n}\right) < 0 $$

となる。

関数 $f(x)$ は区間 $\left[\frac{1}{n}, \frac{e}{n}\right]$ において連続かつ単調減少であり、$f\left(\frac{1}{n}\right) > 0$ かつ $f\left(\frac{e}{n}\right) < 0$ を満たす。したがって、中間値の定理より、$f(x) = 0$ すなわち $x = \log x + \log n$ を満たす解 $x$ は、この区間にただ1つ存在する。

(2)

(1) より、$x_n$ は方程式 $x_n = \log(nx_n)$ を満たし、かつ次の不等式を満たす。

$$ \frac{1}{n} \leqq x_n \leqq \frac{e}{n} $$

ここで、$n \to \infty$ とすると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n} = 0 $$

となる。したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = 0 $$

である。

また、$x_n$ は方程式 $x_n = \log(nx_n)$ を満たすので、対数の定義より

$$ n x_n = e^{x_n} $$

と変形できる。

よって、求める極限は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n x_n &= \lim_{n \to \infty} e^{x_n} \\ &= e^0 \\ &= 1 \end{aligned} $$

解説

方程式の解の存在を示す典型的な問題である。関数を $f(x) = (\text{左辺}) - (\text{右辺})$ とおき、指定された区間での単調性と両端の符号を調べることで、中間値の定理を適用する。(2) では、直接 $n x_n$ の不等式を作って極限を求める手法もあるが、元の方程式を利用して $n x_n = e^{x_n}$ と変形することで、$x_n \to 0$ の極限値を用いて簡潔に求めることができる。