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北海道大学 1983年理系第4問解説

方針・初手

定積分で表された関数の極値に関する問題である。まずは被積分関数から $x$ を分離し、$f(x)$ を $x$ で微分して導関数 $f'(x)$ を求めることから始める。その後、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を探し、増減表をかいて極値を判定する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ の定積分を、$x$ と $t$ に分けて次のように変形する。

$$ f(x) = x \int_{0}^{x} \cos^3 t \, dt - \int_{0}^{x} t \cos^3 t \, dt $$

両辺を $x$ で微分すると、積の微分法と定積分で表された関数の微分の公式により、次のようになる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot \int_{0}^{x} \cos^3 t \, dt + x \cos^3 x - x \cos^3 x \\ &= \int_{0}^{x} \cos^3 t \, dt \end{aligned} $$

ここで、$\cos^3 t = \cos t (1 - \sin^2 t)$ であるから、積分を計算する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \int_{0}^{x} (\cos t - \sin^2 t \cos t) \, dt \\ &= \left[ \sin t - \frac{1}{3} \sin^3 t \right]_{0}^{x} \\ &= \sin x - \frac{1}{3} \sin^3 x \\ &= \frac{1}{3} \sin x (3 - \sin^2 x) \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ とすると、$\sin x = 0$ または $\sin^2 x = 3$ である。

実数 $x$ においてつねに $\sin^2 x \leqq 1$ であるため、$3 - \sin^2 x > 0$ であり、$\sin^2 x = 3$ を満たす実数 $x$ は存在しない。したがって、$f'(x) = 0$ となる条件は $\sin x = 0$ である。

定義域 $-\frac{1}{2}\pi < x < \frac{3}{2}\pi$ において $\sin x = 0$ を解くと、次のようになる。

$$ x = 0, \pi $$

$3 - \sin^2 x > 0$ より、$f'(x)$ の符号は $\sin x$ の符号と一致する。 $-\frac{1}{2}\pi < x < \frac{3}{2}\pi$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & \left(-\frac{1}{2}\pi\right) & \cdots & 0 & \cdots & \pi & \cdots & \left(\frac{3}{2}\pi\right) \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array} $$

増減表より、$f(x)$ は $x = 0$ で極小、$x = \pi$ で極大となる。したがって、極値を与える $x$ の値は、$x = 0, \pi$ である。

(2)

(1) の増減表から、求める極値は $f(0)$ および $f(\pi)$ である。 $f(x) = \int_{0}^{x} f'(t) \, dt + f(0)$ と表せるため、これを用いて値を計算する。

$f(0)$ については、積分区間の幅が $0$ であるから、次のように求まる。

$$ f(0) = \int_{0}^{0} (0 - t) \cos^3 t \, dt = 0 $$

次に、$f(\pi)$ を求める。

$$ \begin{aligned} f(\pi) &= \int_{0}^{\pi} f'(t) \, dt + f(0)\\ &= \int_{0}^{\pi} \left( \sin t - \frac{1}{3} \sin^3 t \right) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \left\{ \sin t - \frac{1}{3} \sin t (1 - \cos^2 t) \right\} \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \left( \frac{2}{3} \sin t + \frac{1}{3} \sin t \cos^2 t \right) \, dt \end{aligned} $$

ここで積分を実行する。

$$ \begin{aligned} f(\pi) &= \left[ -\frac{2}{3} \cos t - \frac{1}{9} \cos^3 t \right]_{0}^{\pi} \\ &= \left( -\frac{2}{3} \cos \pi - \frac{1}{9} \cos^3 \pi \right) - \left( -\frac{2}{3} \cos 0 - \frac{1}{9} \cos^3 0 \right) \\ &= \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{1}{9} \right) \\ &= \frac{7}{9} - \left( -\frac{7}{9} \right) \\ &= \frac{14}{9} \end{aligned} $$

以上より、$x=0$ のとき極小値 $0$、$x=\pi$ のとき極大値 $\frac{14}{9}$ をとる。

解説

定積分で表された関数を微分する際の基本公式 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} g(t) dt = g(x)$ を用いる典型的な問題である。被積分関数に変数 $x$ が含まれている場合は、そのまま微分の公式を適用できないため、事前に $x$ を積分の外にくくり出す変形が必須となる。 (2) で $f(\pi)$ の値を求める際、元の定義式に $x=\pi$ を代入して部分積分を行う方法もあるが、$f(x) - f(0) = \int_{0}^{x} f'(t) dt$ であることに着目し、求めたばかりの導関数 $f'(x)$ を積分する方針を取ると、計算の見通しが格段に良くなる。