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北海道大学 1984年理系第4問解説

方針・初手

(1) 曲線と円が点 $A$ で共通の接線をもつ条件から、点 $A$ における曲線の法線上に円 $C$ の中心があることを利用します。円の中心は $x$ 軸上にあるため、法線の方程式を求めて $x$ 切片を計算します。 (2) 曲線上の任意の点 $P$ と円の中心 $Q$ との距離の2乗を表す関数 $g(x) = PQ^2$ を設定し、微分を用いて増減を調べます。第2次導関数まで調べることで増減を確定させ、$x=a$ で最小値をとることを示します。 (3) (2) の結果から、距離の2乗の最小値は $g(a)$ であることが直ちにわかるので、それを計算して整理します。

解法1

(1)

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x$ とおく。これを微分すると、

$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x $$

点 $A\left(a, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin a\right)$ における接線の傾きは $f'(a) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a$ である。

条件 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ より $\cos a \neq 0$ であるから、点 $A$ における法線の方程式は、

$$ y - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin a = -\frac{\sqrt{2}}{\cos a} (x - a) $$

円 $C$ の中心を $Q$ とすると、$Q$ は $x$ 軸上にあり、点 $A$ で曲線と円が同一の直線に接することから、$Q$ はこの法線上にある。 $y = 0$ を代入して $x$ について解く。

$$ -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a = -\frac{\sqrt{2}}{\cos a} (x - a) $$

$$ x - a = \frac{1}{2} \sin a \cos a $$

$$ x = a + \frac{1}{2} \sin a \cos a $$

よって、円 $C$ の中心の $x$ 座標は $a + \frac{1}{2} \sin a \cos a$ である。

(2)

中心 $Q$ の座標を $(X, 0)$ とおく。ここで $X = a + \frac{1}{2} \sin a \cos a$ である。

曲線上の点 $P\left(x, \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)$ と中心 $Q$ の距離の2乗を $g(x)$ とすると、

$$ g(x) = (x - X)^2 + \frac{1}{2} \sin^2 x $$

$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ g'(x) = 2(x - X) + \sin x \cos x = 2(x - X) + \frac{1}{2} \sin 2x $$

さらに微分すると、

$$ g''(x) = 2 + \cos 2x $$

すべての実数 $x$ に対して $-1 \leqq \cos 2x \leqq 1$ であるから、$g''(x) \geqq 1 > 0$ となる。したがって、$g'(x)$ は単調に増加する関数である。

また、$x = a$ のとき、

$$ g'(a) = 2a - 2\left(a + \frac{1}{2} \sin a \cos a\right) + \sin a \cos a = 0 $$

$g'(x)$ が単調増加であり、$g'(a) = 0$ であることから、導関数の符号は以下のようになる。

$x < a$ のとき $g'(x) < 0$
$x = a$ のとき $g'(x) = 0$
$x > a$ のとき $g'(x) > 0$

よって、$g(x)$ は $x = a$ で極小かつ最小となる。したがって、$x \neq a$ である任意の $x$ に対して、

$$ g(x) > g(a) $$

が成り立つ。 $g(a)$ は円 $C$ の半径の2乗（$QA^2$）に等しいため、これは点 $A$ を除く曲線上すべての点 $P$ が円 $C$ の外部にあることを示している。

(3)

(2) の議論より、点 $P$ と円 $C$ の中心 $Q$ との距離の2乗 $g(x)$ は $x = a$ のとき最小値をとる。求める最小値は $g(a)$ であるから、これを計算する。

$$ g(a) = (a - X)^2 + \frac{1}{2} \sin^2 a $$

$$ = \left(-\frac{1}{2} \sin a \cos a\right)^2 + \frac{1}{2} \sin^2 a $$

$$ = \frac{1}{4} \sin^2 a \cos^2 a + \frac{1}{2} \sin^2 a $$

$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$ を代入して整理すると、

$$ = \frac{1}{4} \sin^2 a (1 - \sin^2 a) + \frac{1}{2} \sin^2 a $$

$$ = \frac{1}{4} \sin^2 a - \frac{1}{4} \sin^4 a + \frac{2}{4} \sin^2 a $$

$$ = \frac{1}{4} \sin^2 a (3 - \sin^2 a) $$

解説

曲線と円が接するという条件を、「接点における曲線の法線上に円の中心がある」と言い換える典型的な処理が問われています。
(2) で点と点の距離の2乗を関数として設定し、その導関数と第2次導関数を調べることで、唯一の最小値を持つことを示す論法は微積分における頻出の手法です。第2次導関数が常に正であることを示すのが記述のポイントになります。
$g'(a)=0$ になるのは、点 $A$ で接するという前提条件から幾何学的にも明らかですが、式上で計算して確認することで議論を厳密に進めることができます。