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北海道大学 1995年理系第3問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ について、区間を $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ と $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ に分けて考えます。各区間において、導関数 $f'(x)$ および第2次導関数 $f''(x)$ の符号を調べることで、関数の増減とグラフの形状を把握し、中間値の定理を用いて解の存在とその個数を示します。

解法1

関数 $f(x)$ を微分する。

$$ f'(x) = \frac{-2(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} - \cos x $$

(i) 区間 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ における $f(x)$ の振る舞いについて

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$e^x > e^{-x}$ であるため $\frac{-2(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} < 0$ となる。また、$\cos x > 0$ であるため $-\cos x < 0$ となる。したがって、この区間において $f'(x) < 0$ が成り立ち、$f(x)$ は単調に減少する。

区間の両端における $f(x)$ の値を調べる。

$$ f(0) = \frac{2}{1 + 1} - 0 = 1 > 0 $$

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}}} - 1 $$

ここで自然対数の底 $e$ について $e > 2$ であるから、$e^{\frac{\pi}{2}} > e^1 > 2$ が成り立つ。これにより、分母について $e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}} > 2$ であることがわかる。よって $\frac{2}{e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}}} < 1$ となり、$f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ である。

$f(x)$ は区間 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ で単調減少であり、$f(0) > 0$ かつ $f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ であるため、この区間に $f(x) = 0$ となる $x$ はちょうど1個存在する。

(ii) 区間 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ における $f(x)$ の振る舞いについて

$f'(x)$ の符号変化を調べるため、さらに微分して $f''(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} f''(x) &= \frac{-2(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x})^2 - \{-2(e^x - e^{-x})\} \cdot 2(e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^4} + \sin x \\ &= \frac{-2(e^x + e^{-x})^2 + 4(e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^3} + \sin x \\ &= \frac{-2(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) + 4(e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^3} + \sin x \\ &= \frac{2e^{2x} + 2e^{-2x} - 12}{(e^x + e^{-x})^3} + \sin x \end{aligned} $$

$\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$ において、$x > \frac{3}{2}$ であるため $e^{2x} > e^3 > 2^3 = 8$ となる。したがって、分子の項について $2e^{2x} + 2e^{-2x} - 12 > 2 \cdot 8 + 0 - 12 = 4 > 0$ が成り立つ。また、この区間で $\sin x \geqq 0$ である。以上より、区間 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ において $f''(x) > 0$ が成り立ち、$f'(x)$ は単調に増加する。

次に、区間の両端における $f'(x)$ の値を調べる。

$$ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{-2(e^{\frac{\pi}{2}} - e^{-\frac{\pi}{2}})}{(e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}})^2} - 0 < 0 $$

$$ f'(\pi) = \frac{-2(e^\pi - e^{-\pi})}{(e^\pi + e^{-\pi})^2} - (-1) = 1 - \frac{2(e^\pi - e^{-\pi})}{(e^\pi + e^{-\pi})^2} $$

ここで $e^\pi > e^3 > 8$ より、第2項は次のように評価できる。

$$ \frac{2(e^\pi - e^{-\pi})}{(e^\pi + e^{-\pi})^2} < \frac{2e^\pi}{(e^\pi)^2} = \frac{2}{e^\pi} < \frac{2}{8} = \frac{1}{4} < 1 $$

したがって、$f'(\pi) > 0$ である。

$f'(x)$ は区間 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ で単調増加であり、$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ かつ $f'(\pi) > 0$ であるため、$f'(c) = 0$ となる $c$ が開区間 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ にただ1つ存在する。これにより、$f(x)$ は区間 $\left[\frac{\pi}{2}, c\right]$ で単調減少、区間 $[c, \pi]$ で単調増加することがわかる。

ここで、区間の両端における $f(x)$ の値を確認する。 (i) より $f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ である。

$$ f(\pi) = \frac{2}{e^\pi + e^{-\pi}} - 0 > 0 $$

$f(x)$ は $x=c$ で極小かつ最小となるため $f(c) < 0$ である。よって、$f(x)$ は $\left[\frac{\pi}{2}, c\right]$ で負の値をとり、$[c, \pi]$ で負から正へと単調に増加して $f(\pi) > 0$ に至るため、区間 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ に $f(x) = 0$ となる $x$ はちょうど1個存在する。

(i)、(ii) より、題意は示された。