北海道大学 2002年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) は点 $A$ と点 $C$ の座標から直線 $AC$ の方程式を求め、$y$ 軸との交点 $E$ の座標を計算します。直角三角形 $ODE$ の面積は底辺と高さから直ちに求まります。 (2) は点 $A$、$B$ が楕円上にあることから、媒介変数を用いて座標を $A(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$、$B(a\cos\beta, b\sin\beta)$ とおくのが定石です。これにより、面積 $S$ を三角関数の式で表すことができます。 (3) は (2) で面積が最大となるときの $\alpha$ と $\beta$ の関係式（条件）を導出し、点 $C$ の座標をだ円の方程式に代入して成り立つことを計算で示します。

解法1

(1)

点 $A(x_1, y_1)$ と点 $C(x_1+x_2, y_1+y_2)$ を通る直線 $AC$ の傾きは、問題の条件 $x_2 \neq 0$ より、

$$ \frac{(y_1+y_2) - y_1}{(x_1+x_2) - x_1} = \frac{y_2}{x_2} $$

となる。よって、直線 $AC$ の方程式は、

$$ y - y_1 = \frac{y_2}{x_2} (x - x_1) $$

である。

点 $E$ は直線 $AC$ と $y$ 軸との交点であるから、$x = 0$ を代入して、

$$ y = -\frac{y_2}{x_2}x_1 + y_1 = \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2} $$

ゆえに、点 $E$ の座標は $\left(0, \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2}\right)$ となる。

点 $D(x_2, 0)$ と点 $E$ はそれぞれ $x$ 軸上、$y$ 軸上の点であり、直角三角形 $ODE$ は原点 $O$ を直角の頂点とする。したがって、その面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} |OD| \cdot |OE| = \frac{1}{2} |x_2| \left| \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2} \right| = \frac{1}{2} |x_2y_1 - x_1y_2| $$

と表される。

(2)

点 $A, B$ は楕円 $L: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点であるから、実数 $\alpha, \beta$ を用いて次のように表せる。

$$ A(a\cos\alpha, b\sin\alpha), \quad B(a\cos\beta, b\sin\beta) $$

これを (1) で求めた $S$ の式に代入すると、

$$ S = \frac{1}{2} |(a\cos\beta)(b\sin\alpha) - (a\cos\alpha)(b\sin\beta)| $$

$$ S = \frac{1}{2} ab |\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta| $$

加法定理を用いると、

$$ S = \frac{1}{2} ab |\sin(\alpha - \beta)| $$

となる。

ここで、$\sin(\alpha - \beta)$ は最大値 $1$、最小値 $-1$ をとるため、$|\sin(\alpha - \beta)| \le 1$ である。 したがって、$S$ の最大値は $\frac{1}{2}ab$ である。

（注：条件 $x_2 \neq 0$ は $a\cos\beta \neq 0$ より $\cos\beta \neq 0$ となる。原点 $O$ が直線 $AB$ 上にないという条件は $S \neq 0$ すなわち $\sin(\alpha - \beta) \neq 0$ となる。これらを満たしつつ $|\sin(\alpha - \beta)| = 1$ となる $\alpha, \beta$ は存在するため、最大値は確かに実現される。）

(3)

点 $C$ の座標は $(x_1+x_2, y_1+y_2)$ であるから、媒介変数表示を用いると、

$$ C(a\cos\alpha + a\cos\beta, b\sin\alpha + b\sin\beta) $$

となる。

(2) の結果より、$S$ が最大となるのは $|\sin(\alpha - \beta)| = 1$ のときである。 このとき、$\cos(\alpha - \beta) = 0$ が成り立つ。

点 $C$ が楕円 $\left(\frac{x}{\sqrt{2}a}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{2}b}\right)^2 = 1$ 上にあることを示すため、点 $C$ の座標をこの式の左辺に代入する。

$$ \left(\frac{a\cos\alpha + a\cos\beta}{\sqrt{2}a}\right)^2 + \left(\frac{b\sin\alpha + b\sin\beta}{\sqrt{2}b}\right)^2 $$

$$ = \frac{(\cos\alpha + \cos\beta)^2}{2} + \frac{(\sin\alpha + \sin\beta)^2}{2} $$

展開して整理すると、

$$ = \frac{1}{2} \left( (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) \right) $$

$$ = \frac{1}{2} \left( (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) + 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \right) $$

$$ = \frac{1}{2} \left( 1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) \right) $$

$$ = 1 + \cos(\alpha - \beta) $$

ここで、面積が最大となるとき $\cos(\alpha - \beta) = 0$ であるから、

$$ 1 + \cos(\alpha - \beta) = 1 + 0 = 1 $$

となり、右辺と一致する。 したがって、点 $C$ は楕円 $\left(\frac{x}{\sqrt{2}a}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{2}b}\right)^2 = 1$ 上にあることが示された。

解説

(1) で求めた $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$ は、原点 $O$ を頂点の一つとする $\triangle OAB$ の面積の公式そのものです。このことに気づけば計算ミスを防ぐ良い目安になります。

(2) では楕円上の点を媒介変数で設定することで、見慣れた三角関数の最大・最小問題に帰着できます。楕円や円上の点が与えられたときは、角度をパラメータとして表す手法が非常に有効です。

(3) は (2) での最大値をとる条件 $|\sin(\alpha - \beta)| = 1$ から得られる $\cos(\alpha - \beta) = 0$ を用いて計算を進めるだけの素直な証明問題です。三角関数の加法定理と基本公式を正しく扱えるかが問われています。

答え

(1) $$ S = \frac{1}{2} |x_2y_1 - x_1y_2| $$

(2) $$ \frac{1}{2}ab $$

(3) 点 $C$ は

$$ \left(\frac{x}{\sqrt{2a}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{2b}}\right)^2=1 $$

の上にある。