北海道大学 2006年 理系 第2問 解説

方針・初手

各点の座標が与えられているため、まずは指示通りに各ベクトルを成分で計算し、基本ベクトルで表す。 (2) では原点 $O$、点 $P$、点 $P'$ が同一直線上にあるという条件を「$\overrightarrow{OP'} = k \overrightarrow{OP}$ となる実数 $k$ が存在する」と言い換えて成分比較を行う。 (3) では、点 $P$ が描く図形の条件を $a, b$ の関係式として立式し、(2) の結果を用いて $p, q$ の関係式に変換する。最後に得られた式が楕円を表すことを、基底ベクトルの大きさや内積を確認した上で結論づける。

解法1

(1) 空間の基本ベクトル $\overrightarrow{e_1} = (1,0,0)$、$\overrightarrow{e_2} = (0,1,0)$、$\overrightarrow{e_3} = (0,0,1)$ を用いると、各点の座標から位置ベクトルは成分をそのまま係数として表せる。

$$ \overrightarrow{OA_0} = (1, 0, 0) = \overrightarrow{e_1} $$

$$ \overrightarrow{A_0 A_1} = \overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OA_0} = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = \overrightarrow{e_2} $$

$$ \overrightarrow{A_0 A_2} = \overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_0} = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) = \overrightarrow{e_3} $$

$$ \overrightarrow{OB_0} = (2, 0, 0) = 2\overrightarrow{e_1} $$

$$ \overrightarrow{B_0 B_1} = \overrightarrow{OB_1} - \overrightarrow{OB_0} = (2, 1, 0) - (2, 0, 0) = (0, 1, 0) = \overrightarrow{e_2} $$

$$ \overrightarrow{B_0 B_2} = \overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OB_0} = \left(\frac{5}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (2, 0, 0) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{e_1} + \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{e_3} $$

(2) (1) の結果を用いると、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OP'}$ はそれぞれ $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}$ を用いて次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA_0} + a\overrightarrow{A_0 A_1} + b\overrightarrow{A_0 A_2} = \overrightarrow{e_1} + a\overrightarrow{e_2} + b\overrightarrow{e_3} $$

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP'} &= \overrightarrow{OB_0} + p\overrightarrow{B_0 B_1} + q\overrightarrow{B_0 B_2} \\ &= 2\overrightarrow{e_1} + p\overrightarrow{e_2} + q\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{e_1} + \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{e_3}\right) \\ &= \left(2 + \frac{1}{2}q\right)\overrightarrow{e_1} + p\overrightarrow{e_2} + \frac{\sqrt{3}}{2}q\overrightarrow{e_3} \end{aligned} $$

3点 $O, P, P'$ は同一直線上にあるため、$\overrightarrow{OP'} = k\overrightarrow{OP}$ を満たす実数 $k$ が存在する。

$$ \left(2 + \frac{1}{2}q\right)\overrightarrow{e_1} + p\overrightarrow{e_2} + \frac{\sqrt{3}}{2}q\overrightarrow{e_3} = k(\overrightarrow{e_1} + a\overrightarrow{e_2} + b\overrightarrow{e_3}) $$

$\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}$ は1次独立であるから、各係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 2 + \frac{1}{2}q = k \\ p = ka \\ \frac{\sqrt{3}}{2}q = kb \end{cases} $$

第1式より $k = 2 + \frac{1}{2}q$ である。 もし $k = 0$ とすると、$\overrightarrow{OP'} = \vec{0}$ となり点 $P'$ が原点 $O$ に一致することになるが、原点 $O$ の $y$ 座標、$z$ 座標は $0$ であるため、$\overrightarrow{OP'}$ の成分から $p=0$ および $q=0$ となる。 しかし $q=0$ のとき $\overrightarrow{e_1}$ 成分は $2 \neq 0$ となり矛盾する。よって $k \neq 0$ すなわち $q \neq -4$ であるから、両辺を $k$ で割って $a, b$ について解くことができる。

$$ a = \frac{p}{k} = \frac{p}{2 + \frac{1}{2}q} = \frac{2p}{q + 4} $$

$$ b = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}q}{k} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}q}{2 + \frac{1}{2}q} = \frac{\sqrt{3}q}{q + 4} $$

(3) 点 $P$ は $\alpha$ 上の点 $A_0$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ の周上を動くので、$|\overrightarrow{A_0 P}| = 1$ が成り立つ。

$$ \overrightarrow{A_0 P} = a\overrightarrow{A_0 A_1} + b\overrightarrow{A_0 A_2} = a\overrightarrow{e_2} + b\overrightarrow{e_3} $$

$\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}$ は互いに直交する大きさ $1$ の単位ベクトルであるため、$|\overrightarrow{A_0 P}|^2 = a^2 + b^2$ となる。 したがって、点 $P$ の満たす条件は以下の式である。

$$ a^2 + b^2 = 1 $$

この式に (2) で求めた $a, b$ を代入する。

$$ \left(\frac{2p}{q + 4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}q}{q + 4}\right)^2 = 1 $$

両辺に $(q + 4)^2$ を掛けて整理する。

$$ 4p^2 + 3q^2 = (q + 4)^2 $$

$$ 4p^2 + 3q^2 = q^2 + 8q + 16 $$

$$ 4p^2 + 2q^2 - 8q = 16 $$

両辺を 2 で割り、平方完成を行う。

$$ 2p^2 + q^2 - 4q = 8 $$

$$ 2p^2 + (q - 2)^2 - 4 = 8 $$

$$ 2p^2 + (q - 2)^2 = 12 $$

両辺を 12 で割る。

$$ \frac{p^2}{6} + \frac{(q - 2)^2}{12} = 1 $$

ここで、点 $P'$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{B_0 P'} = p\overrightarrow{B_0 B_1} + q\overrightarrow{B_0 B_2}$ であり、図形 $C'$ は $\beta$ 平面上で基準点 $B_0$ からの変位を規定する。 $\overrightarrow{B_0 B_1} = \overrightarrow{e_2} = (0, 1, 0)$ $\overrightarrow{B_0 B_2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{e_1} + \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{e_3} = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ これらのベクトルの大きさと内積を計算すると、

$$ |\overrightarrow{B_0 B_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 $$

$$ |\overrightarrow{B_0 B_2}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 $$

$$ \overrightarrow{B_0 B_1} \cdot \overrightarrow{B_0 B_2} = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $$

となり、$\overrightarrow{B_0 B_1}$ と $\overrightarrow{B_0 B_2}$ は互いに直交する単位ベクトルであることがわかる。 したがって、変数 $p, q$ は $\beta$ 平面上に設定された直交座標系における座標とみなすことができる。 以上より、直交座標系 $(p, q)$ についての 2 次曲線が楕円を表す方程式となることから、実際の図形 $C'$ も平面 $\beta$ 上の楕円である。

解説

空間内の平面における点の軌跡を、別の平面に投影（今回は原点を中心とする中心投影）する問題である。 (1) や (2) のベクトル計算自体は標準的であるが、(3) で得られた $p, q$ の関係式が「なぜ図形 $C'$ が実空間においても楕円であることの証明になるのか」を論理的に説明できるかがポイントとなる。 単に関係式が楕円の形をしているからと飛びつくのではなく、基底として用いている2つのベクトル $\overrightarrow{B_0 B_1}$ と $\overrightarrow{B_0 B_2}$ が直交する単位ベクトルであることを確認し、$(p, q)$ が平面上の直交座標系をなすことを明記する必要がある。

答え

(1) $\overrightarrow{OA_0} = \overrightarrow{e_1}$ $\overrightarrow{A_0 A_1} = \overrightarrow{e_2}$ $\overrightarrow{A_0 A_2} = \overrightarrow{e_3}$ $\overrightarrow{OB_0} = 2\overrightarrow{e_1}$ $\overrightarrow{B_0 B_1} = \overrightarrow{e_2}$ $\overrightarrow{B_0 B_2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{e_1} + \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{e_3}$

(2) $a = \frac{2p}{q + 4}$ $b = \frac{\sqrt{3}q}{q + 4}$

(3) 方程式は $\frac{p^2}{6} + \frac{(q - 2)^2}{12} = 1$ $\overrightarrow{B_0 B_1}$ と $\overrightarrow{B_0 B_2}$ が直交する単位ベクトルであることから、$(p, q)$ は平面 $\beta$ 上の直交座標系を表す。よって、得られた方程式から図形 $C'$ は楕円であることが示された。（証明の詳細は解法を参照）