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北海道大学 2012年理系第3問解説

方針・初手

(1) は不等式の証明の定石通り、(中辺) - (左辺) および (右辺) - (中辺) をそれぞれ関数として設定し、導関数の符号から増減を調べる。 (2) は (1) で示した不等式の各辺に $t$ （$t \geqq 0$）を掛け、区間 $[0, x]$ で定積分する。積分区間の下端が上端より小さく（または等しく）、被積分関数の大小関係が保たれているため、定積分後も不等式が成立することを利用する。 (3) は積分 $\int_0^x t \sin t \, dt$ を部分積分を用いて計算し、(2) の不等式の中辺を置き換える。その後、はさみうちの原理を用いて右側極限 $\lim_{x \to +0}$ を求め、関数の偶奇性から左側極限 $\lim_{x \to -0}$ も一致することを示す。

解法1

(1)

$x \geqq 0$ において、$f(x) = x - \sin x$ とおく。

$$ f'(x) = 1 - \cos x $$

$x \geqq 0$ において $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ であるから、$f'(x) \geqq 0$ となる。よって、$f(x)$ は $x \geqq 0$ において単調に増加する。 $f(0) = 0$ であるから、$x \geqq 0$ において $f(x) \geqq 0$ すなわち $\sin x \leqq x$ が成り立つ。

次に、$g(x) = \sin x - \left( x - \frac{x^3}{6} \right)$ とおく。

$$ g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} $$

$$ g''(x) = -\sin x + x $$

ここで、$g''(x) = f(x)$ であり、先ほどの証明から $x \geqq 0$ において $g''(x) \geqq 0$ である。よって、$g'(x)$ は $x \geqq 0$ において単調に増加する。 $g'(0) = \cos 0 - 1 + 0 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ において $g'(x) \geqq 0$ が成り立つ。したがって、$g(x)$ も $x \geqq 0$ において単調に増加する。 $g(0) = \sin 0 - 0 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ において $g(x) \geqq 0$ すなわち $x - \frac{x^3}{6} \leqq \sin x$ が成り立つ。

以上より、$x \geqq 0$ のとき、$x - \frac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq x$ が成り立つ。

(2)

(1) の結果より、$t \geqq 0$ のとき以下の不等式が成り立つ。

$$ t - \frac{t^3}{6} \leqq \sin t \leqq t $$

$t \geqq 0$ であるから、各辺に $t$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ t^2 - \frac{t^4}{6} \leqq t \sin t \leqq t^2 $$

$x \geqq 0$ とし、各辺を $t$ について区間 $[0, x]$ で定積分する。積分区間において被積分関数の大小関係は保たれるため、以下の不等式が成り立つ。

$$ \int_0^x \left( t^2 - \frac{t^4}{6} \right) dt \leqq \int_0^x t \sin t \, dt \leqq \int_0^x t^2 dt $$

左辺の定積分を計算すると、以下のようになる。

$$ \int_0^x \left( t^2 - \frac{t^4}{6} \right) dt = \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{30} \right]_0^x = \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} $$

右辺の定積分を計算すると、以下のようになる。

$$ \int_0^x t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{x^3}{3} $$

したがって、$x \geqq 0$ のとき、以下の不等式が成り立つ。

$$ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} \leqq \int_0^x t \sin t \, dt \leqq \frac{x^3}{3} $$

(3)

部分積分を用いて、(2) の不等式の中辺にある定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^x t \sin t \, dt &= \int_0^x t (-\cos t)' dt \\ &= \left[ -t \cos t \right]_0^x - \int_0^x 1 \cdot (-\cos t) dt \\ &= -x \cos x + \int_0^x \cos t \, dt \\ &= -x \cos x + \left[ \sin t \right]_0^x \\ &= \sin x - x \cos x \end{aligned} $$

これを (2) で得た不等式に代入すると、$x \geqq 0$ のとき以下が成り立つ。

$$ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} \leqq \sin x - x \cos x \leqq \frac{x^3}{3} $$

$x > 0$ のとき、各辺を $x^3$ （$x^3 > 0$）で割ると、次式を得る。

$$ \frac{1}{3} - \frac{x^2}{30} \leqq \frac{\sin x - x \cos x}{x^3} \leqq \frac{1}{3} $$

ここで、$\lim_{x \to +0} \left( \frac{1}{3} - \frac{x^2}{30} \right) = \frac{1}{3}$ であるから、はさみうちの原理より右側極限は以下のようになる。

$$ \lim_{x \to +0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^3} = \frac{1}{3} $$

次に、左側極限 $x \to -0$ について考える。 $h(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{x^3}$ とおくと、$h(-x)$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} h(-x) &= \frac{\sin(-x) - (-x) \cos(-x)}{(-x)^3} \\ &= \frac{-\sin x + x \cos x}{-x^3} \\ &= \frac{-(\sin x - x \cos x)}{-x^3} \\ &= \frac{\sin x - x \cos x}{x^3} \\ &= h(x) \end{aligned} $$

よって、$h(x)$ は偶関数である。これより、左側極限は右側極限に一致する。

$$ \lim_{x \to -0} h(x) = \lim_{x \to +0} h(-x) = \lim_{x \to +0} h(x) = \frac{1}{3} $$

右側極限と左側極限がともに $\frac{1}{3}$ で一致したため、求める極限値は以下のようになる。

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^3} = \frac{1}{3} $$

解説

マクローリン展開を背景とする不等式の証明と、積分・はさみうちの原理を組み合わせた極限計算の典型問題である。 (1) の不等式は、関数 $\sin x$ を多項式で近似した際の上端と下端の評価を与えている。 (2) では被積分関数を作るために $t \geqq 0$ を掛けてから積分するという操作を行っている。定積分が不等号を保存する性質（単調性）の利用は極限の評価において頻出である。 (3) において注意すべきは、与えられた不等式が $x \geqq 0$ の範囲でしか示されていないことである。問題は $\lim_{x \to 0}$ を求めているため、厳密には $x \to -0$ の場合も論証する必要がある。本解説のように関数の偶奇性（$h(-x) = h(x)$）を利用すると、右側極限の結果を簡潔に左側極限に適用できるため見通しが良い。