京都大学 1969年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた不等式 $18^n > 10^{100}$ の両辺は正であるから、常用対数（底が10の対数）をとって $n$ に関する不等式を導く。対数計算において、$18$ を素因数分解して $2$ と $3$ の累乗の形で表し、与えられた $\log_{10} 2$ および $\log_{10} 3$ の値を利用する。

解法1

$18^n > 10^{100}$ の両辺の常用対数をとると、底 $10$ は $1$ より大きいため、不等号の向きは変わらず

$$ \log_{10} 18^n > \log_{10} 10^{100} $$

対数の性質 $\log_{10} M^k = k \log_{10} M$ より

$$ n \log_{10} 18 > 100 $$

ここで、$18 = 2 \times 3^2$ であるから

$$ \begin{aligned} \log_{10} 18 &= \log_{10} (2 \times 3^2) \\ &= \log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3 \end{aligned} $$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると

$$ \begin{aligned} \log_{10} 18 &= 0.3010 + 2 \times 0.4771 \\ &= 0.3010 + 0.9542 \\ &= 1.2552 \end{aligned} $$

これを不等式に代入すると

$$ 1.2552n > 100 $$

$1.2552 > 0$ であるから

$$ n > \frac{100}{1.2552} = \frac{1000000}{12552} $$

実際に割り算を行うと

$$ 100 \div 1.2552 = 79.668\cdots $$

よって、$n > 79.668\cdots$ となる。

$n$ は自然数であるから、これを満たす最小の $n$ は $80$ である。

解説

指数部分に未知数 $n$ があるので、両辺の常用対数をとって比較する。

数値計算においては、$\log_{10} 18$ の値を正確に求め、その後の割り算で小数第1位まで（あるいは整数部分を特定できるまで）計算を進める必要がある。$n$ が「自然数」であるという条件から、得られた小数の値より大きい最小の整数を答えとする。

答え

$80$