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京都大学 1987年文系第5問解説

方針・初手

(1)は、円周に使う針金の長さを $x$ として、円と長方形の面積を $x$ の式で表す。面積の和は $x$ の2次関数になるため、微分あるいは平方完成を用いて最小値をとる $x$ の値を求める。 (2)は、(1)で求めた最小値を $k$ の式（分数関数）で表し、その最大値を考える。分子が $k$ の1次式、分母が $k$ の2次式になるため、分母分子を $k$ で割り、分母に相加・相乗平均の関係を適用して最小化することで、全体の最大値を求めるのが定石である。

解法1

(1)

長さ $1$ の針金を2つに切り、円周に使う長さを $x$ とする。残りの長さ $1 - x$ を長方形に使うため、$0 < x < 1$ である。

円の半径を $r$ とすると、$2\pi r = x$ より $r = \frac{x}{2\pi}$ である。したがって、円の面積 $S_1$ は

$$ S_1 = \pi r^2 = \pi \left( \frac{x}{2\pi} \right)^2 = \frac{x^2}{4\pi} $$

である。

一方、長方形の2辺の長さを $a, ka$ とすると、周の長さは $2(a + ka) = 2a(1+k)$ である。これが $1 - x$ に等しいので、

$$ 2a(1+k) = 1 - x $$

$$ a = \frac{1 - x}{2(1+k)} $$

したがって、長方形の面積 $S_2$ は

$$ S_2 = a \cdot ka = k a^2 = k \left( \frac{1 - x}{2(1+k)} \right)^2 = \frac{k(1 - x)^2}{4(1+k)^2} $$

である。

円と長方形の面積の和 $f(x) = S_1 + S_2$ は、

$$ f(x) = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{k(1 - x)^2}{4(1+k)^2} $$

これを $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x}{4\pi} - \frac{2k(1 - x)}{4(1+k)^2} \\ &= \frac{x}{2\pi} - \frac{k(1 - x)}{2(1+k)^2} \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$ \frac{x}{2\pi} = \frac{k(1 - x)}{2(1+k)^2} $$

両辺に $2\pi(1+k)^2$ を掛けて整理する。

$$ x(1+k)^2 = \pi k (1 - x) $$

$$ x \{ (1+k)^2 + \pi k \} = \pi k $$

$$ x = \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k} $$

$k > 0$ であるから、この $x$ は $0 < x < 1$ を満たす。 $f(x)$ は $x^2$ の係数が正の2次関数であるため、$x = \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k}$ のとき最小となる。

このとき、長方形に使う針金の長さは

$$ 1 - x = 1 - \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k} = \frac{(1+k)^2}{(1+k)^2 + \pi k} $$

である。よって、円周に使う長さと長方形に使う長さの比は、

$$ \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k} : \frac{(1+k)^2}{(1+k)^2 + \pi k} = \pi k : (1+k)^2 $$

となる。

(2)

(1)のとき、面積の和の最小値 $S(k)$ は、

$$ \begin{aligned} S(k) &= f\left( \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k} \right) \\ &= \frac{1}{4\pi} \left( \frac{\pi k}{(1+k)^2 + \pi k} \right)^2 + \frac{k}{4(1+k)^2} \left( \frac{(1+k)^2}{(1+k)^2 + \pi k} \right)^2 \\ &= \frac{\pi k^2}{4 \{ (1+k)^2 + \pi k \}^2} + \frac{k (1+k)^2}{4 \{ (1+k)^2 + \pi k \}^2} \\ &= \frac{k \{ \pi k + (1+k)^2 \}}{4 \{ (1+k)^2 + \pi k \}^2} \\ &= \frac{k}{4 \{ (1+k)^2 + \pi k \}} \end{aligned} $$

分母を展開すると、

$$ S(k) = \frac{k}{4 \{ k^2 + (2 + \pi)k + 1 \}} $$

$k > 0$ であるから、分母分子を $k$ で割ると、

$$ S(k) = \frac{1}{4 \left( k + \frac{1}{k} + 2 + \pi \right)} $$

$S(k)$ が最大になるのは、分母の $k + \frac{1}{k}$ が最小になるときである。 $k > 0, \frac{1}{k} > 0$ より、相加平均と相乗平均の大小関係から、

$$ k + \frac{1}{k} \geqq 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2 $$

等号が成立するのは、$k = \frac{1}{k}$ すなわち $k^2 = 1$ のときであり、$k > 0$ より $k = 1$ である。したがって、$S(k)$ が最大になるような $k$ の値は $k = 1$ である。

解説

(1)は $x$ の2次関数の最小化、(2)は分数関数の最大化という、微積分の基礎と式変形の技術を問う標準的な問題である。 (2)において、「分子が定数で分母が変数の式」に持ち込み、相加・相乗平均の関係を利用して最大値（分母の最小値）を求める手法は、頻出のテクニックなので確実にマスターしておきよう。