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京都大学 1994年理系第4問解説

方針・初手

三角形の角の二等分線の定理 $\text{AQ} : \text{QB} = \text{AP} : \text{PB}$ を用いて、求める比 $\frac{\text{QB}}{\text{AQ}}$ を $\frac{\text{PB}}{\text{AP}}$ に言い換えることが第一歩である。その後、$t$ の関数として立式し、平方した関数の微分を用いて最大値と最小値を求める。その際、分子と分母の次数や項の共通性に注目して式変形を行うと、微分の計算負担を減らすことができる。

解法1

$\triangle \text{APB}$ において、直線 $\text{PQ}$ は $\angle \text{APB}$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より次が成り立つ。

$$ \text{AQ} : \text{QB} = \text{AP} : \text{PB} $$

よって、求める比は次のように書き換えられる。

$$ \frac{\text{QB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{PB}}{\text{AP}} $$

2点間の距離の公式より、$\text{AP}^2$ と $\text{PB}^2$ を $t$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} \text{AP}^2 &= (t - (-1))^2 + (2t^2 + 1 - 0)^2 \\ &= (t+1)^2 + (2t^2+1)^2 \\ &= t^2 + 2t + 1 + 4t^4 + 4t^2 + 1 \\ &= 4t^4 + 5t^2 + 2t + 2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{PB}^2 &= (t - 1)^2 + (2t^2 + 1 - 0)^2 \\ &= t^2 - 2t + 1 + 4t^4 + 4t^2 + 1 \\ &= 4t^4 + 5t^2 - 2t + 2 \end{aligned} $$

ここで、点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $2t^2+1 \geqq 1$ であるため、点 $\text{P}$ が $x$ 軸上の点 $\text{A}, \text{B}$ と一致することはなく、常に $\text{AP} > 0$ である。求める比の2乗を $f(t)$ とおく。

$$ f(t) = \frac{\text{PB}^2}{\text{AP}^2} = \frac{4t^4 + 5t^2 - 2t + 2}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2} $$

この式の分子を分母の形に近づけるように変形する。

$$ f(t) = \frac{(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2) - 4t}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2} = 1 - \frac{4t}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2} $$

右辺の分数部分を $g(t) = \frac{4t}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2}$ とおき、$g(t)$ の増減を調べる。商の微分公式を用いて $g(t)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} g'(t) &= \frac{4(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2) - 4t(16t^3 + 10t + 2)}{(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2)^2} \\ &= \frac{16t^4 + 20t^2 + 8t + 8 - 64t^4 - 40t^2 - 8t}{(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2)^2} \\ &= \frac{-48t^4 - 20t^2 + 8}{(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2)^2} \\ &= \frac{-4(12t^4 + 5t^2 - 2)}{(4t^4 + 5t^2 + 2t + 2)^2} \end{aligned} $$

$g'(t) = 0$ となる $t$ の値を求める。分子が $0$ になるので、

$$ 12t^4 + 5t^2 - 2 = 0 $$

$$ (4t^2 - 1)(3t^2 + 2) = 0 $$

$t$ は実数であるから $3t^2 + 2 > 0$ であり、$4t^2 - 1 = 0$ すなわち $t^2 = \frac{1}{4}$ となる。したがって、$t = \pm \frac{1}{2}$ である。

$g(t)$ および $f(t) = 1 - g(t)$ の増減表は以下のようになる。分母は常に正であるから、$g'(t)$ の符号は分子の $-4(4t^2-1)(3t^2+2)$ の符号と一致する。

$t$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$
$g'(t)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(t)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$
$f(t)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

また、$t \to \pm\infty$ のときの極限を考えると、

$$ \lim_{t \to \pm\infty} g(t) = \lim_{t \to \pm\infty} \frac{\frac{4}{t^3}}{4 + \frac{5}{t^2} + \frac{2}{t^3} + \frac{2}{t^4}} = 0 $$

ゆえに、$\lim_{t \to \pm\infty} f(t) = 1$ となる。増減表と極限より、$f(t)$ は $t = -\frac{1}{2}$ で最大値、$t = \frac{1}{2}$ で最小値をとる。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、

$$ \text{AP}^2 = 4\left(\frac{1}{16}\right) + 5\left(\frac{1}{4}\right) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - 1 + 2 = \frac{5}{2} $$

$$ \text{PB}^2 = 4\left(\frac{1}{16}\right) + 5\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} + 1 + 2 = \frac{9}{2} $$

$$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{9}{5} $$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、

$$ \text{AP}^2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} + 1 + 2 = \frac{9}{2} $$

$$ \text{PB}^2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - 1 + 2 = \frac{5}{2} $$

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{5}{9} $$

$\frac{\text{QB}}{\text{AQ}} > 0$ であるから、$\frac{\text{QB}}{\text{AQ}} = \sqrt{f(t)}$ となり、$f(t)$ が最大のとき $\frac{\text{QB}}{\text{AQ}}$ も最大、$f(t)$ が最小のとき $\frac{\text{QB}}{\text{AQ}}$ も最小となる。

最大値： $\sqrt{\frac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ 最小値： $\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

解説

図形の性質（角の二等分線の定理）を用いて図形的な条件を数式に翻訳し、微分法を用いて関数の最大・最小を求める典型的な融合問題である。そのまま $\frac{\text{PB}}{\text{AP}}$ を微分しようとすると、無理関数の微分となり計算が非常に煩雑になるため、2乗した関数 $f(t)$ の増減を調べるのが定石である。さらに、$f(t) = \frac{4t^4 + 5t^2 - 2t + 2}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2}$ をそのまま微分するのではなく、$1 - \frac{4t}{4t^4 + 5t^2 + 2t + 2}$ と帯分数の形に変形することで、微分の計算量を劇的に減らし、計算ミスを防ぐことができる。この工夫ができるかどうかが、実戦での時間配分に大きく影響する。