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大阪大学 1969年理系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた割り算の条件を等式で書き下します。それらを一つにまとめることで、$f(x)$ を $(x-a)$ の累乗の形で展開した式（テイラー展開の形）を得ることができます。その後は、両辺に $x=a$ を代入する操作と $x$ で微分する操作を繰り返すことで題意を示します。

(2) (1) の結果を利用して、$p, q, r$ を $a$ の式で表します。求める値は $|p| + |q| + |r|$ の最小値なので、各項の符号が変化する $a$ の値を境界として場合分けを行い、絶対値を外して関数として増減を調べます。

解法1

(1)

問題の条件より、以下の恒等式が成り立つ。

$$ f(x) = (x-a)P(x) + p $$

$$ P(x) = (x-a)Q(x) + q $$

$$ Q(x) = (x-a)R(x) + r $$

これらを順次代入して $f(x)$ を $(x-a)$ について整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= (x-a) \{ (x-a)Q(x) + q \} + p \\ &= (x-a)^2 Q(x) + q(x-a) + p \\ &= (x-a)^2 \{ (x-a)R(x) + r \} + q(x-a) + p \\ &= (x-a)^3 R(x) + r(x-a)^2 + q(x-a) + p \end{aligned} $$

得られた恒等式を

$$ f(x) = (x-a)^3 R(x) + r(x-a)^2 + q(x-a) + p \cdots ① $$

とおく。①の両辺に $x=a$ を代入すると、

$$ f(a) = p $$

となり、示された。

次に、①の両辺を $x$ について微分する。積の微分公式を用いると、

$$ f'(x) = 3(x-a)^2 R(x) + (x-a)^3 R'(x) + 2r(x-a) + q \cdots ② $$

②の両辺に $x=a$ を代入すると、

$$ f'(a) = q $$

となり、示された。

さらに、②の両辺を $x$ について微分する。

$$ f''(x) = 6(x-a) R(x) + 3(x-a)^2 R'(x) + 3(x-a)^2 R'(x) + (x-a)^3 R''(x) + 2r $$

$$ f''(x) = 6(x-a) R(x) + 6(x-a)^2 R'(x) + (x-a)^3 R''(x) + 2r \cdots ③ $$

③の両辺に $x=a$ を代入すると、

$$ f''(a) = 2r $$

よって、

$$ r = \frac{1}{2}f''(a) $$

となり、示された。

(2)

$f(x) = x^3 - x^2 + x - 1$ とすると、

$$ f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 $$

$$ f''(x) = 6x - 2 $$

であるから、(1) の結果より

$$ p = f(a) = a^3 - a^2 + a - 1 = a^2(a-1) + (a-1) = (a^2+1)(a-1) $$

$$ q = f'(a) = 3a^2 - 2a + 1 = 3\left(a - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} $$

$$ r = \frac{1}{2}f''(a) = 3a - 1 $$

となる。ここで、$p, q, r$ の符号について調べる。すべての実数 $a$ において $a^2+1 > 0$ であるため、$p$ の符号は $a-1$ の符号と一致する。また、$q$ は常に正である。したがって、$p$ は $a=1$、$r$ は $a=\frac{1}{3}$ を境に符号が変わる。

$S(a) = |p| + |q| + |r|$ とおき、絶対値を外すために $a$ の値の範囲で場合分けを行う。

(i) $a \ge 1$ のとき $p \ge 0, q > 0, r > 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} S(a) &= p + q + r \\ &= (a^3 - a^2 + a - 1) + (3a^2 - 2a + 1) + (3a - 1) \\ &= a^3 + 2a^2 + 2a - 1 \end{aligned} $$

$$ S'(a) = 3a^2 + 4a + 2 $$

$a \ge 1$ のとき常に $S'(a) > 0$ となるため、$S(a)$ はこの範囲で単調に増加する。

(ii) $\frac{1}{3} \le a < 1$ のとき $p < 0, q > 0, r \ge 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} S(a) &= -p + q + r \\ &= -(a^3 - a^2 + a - 1) + (3a^2 - 2a + 1) + (3a - 1) \\ &= -a^3 + 4a^2 + 1 \end{aligned} $$

$$ S'(a) = -3a^2 + 8a = a(-3a + 8) $$

$\frac{1}{3} \le a < 1$ においては $a > 0$ かつ $-3a+8 > 0$ であるため、常に $S'(a) > 0$ となる。したがって、$S(a)$ はこの範囲で単調に増加する。

(iii) $a < \frac{1}{3}$ のとき $p < 0, q > 0, r < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} S(a) &= -p + q - r \\ &= -(a^3 - a^2 + a - 1) + (3a^2 - 2a + 1) - (3a - 1) \\ &= -a^3 + 4a^2 - 6a + 3 \end{aligned} $$

$$ S'(a) = -3a^2 + 8a - 6 $$

$S'(a) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = 4^2 - (-3) \cdot (-6) = 16 - 18 = -2 < 0 $$

よって、すべての実数 $a$ において $S'(a) < 0$ となるため、$S(a)$ はこの範囲で単調に減少する。

以上 (i) 〜 (iii) より、$S(a)$ は $a < \frac{1}{3}$ で単調減少し、$a \ge \frac{1}{3}$ で単調増加することが分かる。ゆえに、$S(a)$ が最小となるのは $a = \frac{1}{3}$ のときである。

解説

(1) は、多項式を特定の文字 $x-a$ について展開する「テイラー展開」の背景知識を問う問題です。多項式の恒等式を立ててから $x=a$ の代入と微分を繰り返す手法は、剰余の定理に関連する応用問題で頻出する定石です。 (2) は、(1) を誘導として具体的な関数の計算に落とし込む問題です。絶対値の和の最小値を求めるため、中身の正負が切り替わる境界を正確に見極め、区間ごとに微分を用いて増減を調べる必要があります。