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東京工業大学 1975年理系第6問解説

方針・初手

前半は、関数 $F(x)$ を $x$ で微分し、その導関数 $F'(x)$ が $0$ 以上になることを示す。その際、積分で表された関数の微分法と、$f(x)$ が単調に増加するという条件を利用して、定積分の不等式評価を行う。

後半は、与えられた積分を含む等式の両辺に $x$ を掛けてから $x$ で微分し、微分方程式に帰着させる。

解法1

前半の証明

$$F(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t)dt \quad (x > 0)$$

$f(x)$ は連続関数であるから、$\int_{0}^{x} f(t)dt$ は $x$ について微分可能である。 $F(x)$ を $x$ について微分すると、積の微分公式より

$$F'(x) = -\frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t)dt + \frac{1}{x} f(x)$$

$$F'(x) = \frac{1}{x^2} \left( x f(x) - \int_{0}^{x} f(t)dt \right)$$

ここで、$x > 0$ のとき、積分区間 $0 \leqq t \leqq x$ において、関数 $f(x)$ は単調に増加するから、

$$f(t) \leqq f(x)$$

が成り立つ。この不等式の両辺を $t$ について $0$ から $x$ まで積分すると、

$$\int_{0}^{x} f(t)dt \leqq \int_{0}^{x} f(x)dt$$

右辺の $f(x)$ は積分変数 $t$ に無関係であるため、定数として積分の外に出すことができ、

$$\int_{0}^{x} f(x)dt = f(x) \int_{0}^{x} 1 dt = f(x) \big[ t \big]_{0}^{x} = x f(x)$$

したがって、

$$\int_{0}^{x} f(t)dt \leqq x f(x)$$

すなわち、

$$x f(x) - \int_{0}^{x} f(t)dt \geqq 0$$

$x^2 > 0$ であるから、

$$F'(x) \geqq 0$$

が成り立つ。よって、関数 $F(x)$ は $x > 0$ において単調に増加する。（証明終）

後半の解答

$$3F(x) = f(x) \quad (x > 0)$$

上の式に $F(x)$ の定義式を代入すると、

$$3 \cdot \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t)dt = f(x)$$

両辺に $x$ を掛けると、

$$3 \int_{0}^{x} f(t)dt = x f(x)$$

この等式の左辺は $x$ について微分可能であるから、右辺も微分可能である。両辺を $x$ で微分すると、積の微分公式より

$$3 f(x) = f(x) + x f'(x)$$

$$x f'(x) - 2 f(x) = 0$$

$x > 0$ であるから、両辺を $x^3$ で割ると、

$$\frac{x f'(x) - 2 f(x)}{x^3} = 0$$

$$\frac{1}{x^2} f'(x) - \frac{2}{x^3} f(x) = 0$$

この式の左辺は、商の微分公式の逆を用いると $\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)'$ と変形できるから、

$$\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = 0$$

これを $x$ について積分すると、

$$\frac{f(x)}{x^2} = C \quad (C \text{ は積分定数})$$

$$f(x) = C x^2$$

条件 $f(1) = 1$ より、

$$C \cdot 1^2 = 1 \iff C = 1$$

よって、$x > 0$ において

$$f(x) = x^2$$

さらに、$f(x)$ は $x \geqq 0$ で連続であるから、$x = 0$ における値は極限に一致し、

$$f(0) = \lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} x^2 = 0$$

これは、$x = 0$ のときも $f(x) = x^2$ という式で表せることを意味する。したがって、求める関数 $f(x)$ は

$$f(x) = x^2$$

解法2

（後半の微分方程式を解く部分の別解）

$$x f'(x) - 2 f(x) = 0$$

を導くところまでは解法1と同じである。

$$2 f(x) = x f'(x)$$

$f(x) \neq 0$ となる $x$ の区間において、両辺を $x f(x)$ で割ると、

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2}{x}$$

両辺を $x$ について積分すると、

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{2}{x} dx$$

$$\log |f(x)| = 2 \log |x| + C_1 \quad (C_1 \text{ は積分定数})$$

$$\log |f(x)| = \log x^2 + C_1$$

$$|f(x)| = e^{C_1} x^2$$

$$f(x) = \pm e^{C_1} x^2$$

ここで、$C_2 = \pm e^{C_1}$ とおくと、$C_2$ は $0$ でない任意の定数となり、

$$f(x) = C_2 x^2$$

と表せる。また、$f(x) = 0$ （恒等的に $0$）も元の微分方程式 $2 f(x) = x f'(x)$ を満たすので、これらを含めて任意の定数 $C$ を用いて

$$f(x) = C x^2$$

と一般解を表すことができる。条件 $f(1) = 1$ より、

$$C \cdot 1^2 = 1 \iff C = 1$$

よって、$x > 0$ において $f(x) = x^2$ となる。 $x = 0$ での連続性から $f(0) = 0$ となり、全体として $f(x) = x^2$ となる。

解説

前半の $F(x)$ の単調性の証明は、導関数 $F'(x)$ を計算し、積分で表された関数の性質を利用して不等式評価を行う標準的な問題である。「関数が単調増加である」という条件を不等式 $f(t) \leqq f(x)$（$t \leqq x$ のとき）に翻訳して定積分の評価に繋げるのがポイントである。

後半の積分方程式は、両辺を微分して微分方程式に帰着させる定石通りに処理する。得られた微分方程式 $x f'(x) - 2f(x) = 0$ を解く際、解法2のような変数分離法を用いるのが一般的だが、$f(x) = 0$ となる可能性を考慮する必要がある。解法1のように両辺を $x^3$ で割って $\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)' = 0$ の形に持ち込む手法は、場合分けの手間を省くことができるため、計算ミスを減らせる鮮やかな解法として覚えておくと非常に有効だ。