トップ› 京都大学› 1962年› 理系第6問

京都大学 1962年理系第6問解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線の方程式を立てて、点 $(a, 0)$ を通る条件から $t$ と $a$ の関係式を導く。
求める面積は接線、放物線、$x$ 軸で囲まれた部分であるため、グラフの上下・左右の関係を把握して積分区間を設定する。
$t$ の値を面積の式に直接代入するのではなく、$t$ の方程式を用いて次数を下げてから整理する。

解法1

放物線 $y = 4 - x^2$ の第1象限にある部分は、$0 < x < 2$ かつ $y > 0$ の範囲である。

この部分上の接点を $(t, 4 - t^2)$ とおく（ただし $0 < t < 2$）。

$y = 4 - x^2$ より $y' = -2x$ であるから、接線の方程式は

$$ y - (4 - t^2) = -2t(x - t) $$

すなわち

$$ y = -2tx + t^2 + 4 $$

これが点 $(a, 0)$ を通るから

$$ 0 = -2at + t^2 + 4 $$

$$ t^2 - 2at + 4 = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$f(t) = t^2 - 2at + 4$ とおくと、グラフの軸は $t = a$ である。$a > 2$ であるから軸は $t = 2$ の右側にある。

$f(0) = 4 > 0$

$f(2) = 8 - 4a = -4(a - 2) < 0$ （$a > 2$ より）

したがって、方程式 $f(t) = 0$ は $0 < t < 2$ の範囲にただ1つの実数解を持つ。

解の公式より $t = a \pm \sqrt{a^2 - 4}$ であり、$t < 2 < a$ であることから

$$ t = a - \sqrt{a^2 - 4} $$

となる。

求める面積を $S$ とすると、$S$ は接線、$x$ 軸、放物線 $y = 4 - x^2$ の $t \leqq x \leqq 2$ の部分で囲まれた図形の面積である。$x$ 軸方向の積分で考えると、

$$ S = \int_t^a (-2tx + t^2 + 4) dx - \int_t^2 (4 - x^2) dx $$

第1項は、底辺の長さが $a - t$、高さが $4 - t^2$ の直角三角形の面積であるため、

$$ \int_t^a (-2tx + t^2 + 4) dx = \frac{1}{2}(a - t)(4 - t^2) $$

ここで、①より $4 - t^2 = 2at - 2t^2 = 2t(a - t)$ であるから、

$$ \frac{1}{2}(a - t) \cdot 2t(a - t) = t(a - t)^2 = t(a^2 - 2at + t^2) $$

さらに、再び①を用いて $t^2 = 2at - 4$ を代入すると、

$$ t(a^2 - 2at + 2at - 4) = t(a^2 - 4) $$

となる。

第2項の定積分は、

$$ \int_t^2 (4 - x^2) dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_t^2 = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( 4t - \frac{1}{3}t^3 \right) = \frac{16}{3} - 4t + \frac{1}{3}t^3 $$

したがって、

$$ S = t(a^2 - 4) - \left( \frac{16}{3} - 4t + \frac{1}{3}t^3 \right) = a^2 t - \frac{16}{3} - \frac{1}{3}t^3 $$

ここで、$t^3 = t(2at - 4) = 2at^2 - 4t = 2a(2at - 4) - 4t = 4a^2 t - 8a - 4t$ であるから、

$$ \begin{aligned} S &= a^2 t - \frac{16}{3} - \frac{1}{3}(4a^2 t - 8a - 4t) \\ &= -\frac{1}{3}a^2 t + \frac{4}{3}t + \frac{8}{3}a - \frac{16}{3} \\ &= -\frac{1}{3}(a^2 - 4)t + \frac{8}{3}a - \frac{16}{3} \end{aligned} $$

これに $t = a - \sqrt{a^2 - 4}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} S &= -\frac{1}{3}(a^2 - 4)(a - \sqrt{a^2 - 4}) + \frac{8}{3}a - \frac{16}{3} \\ &= -\frac{1}{3}a(a^2 - 4) + \frac{1}{3}(a^2 - 4)\sqrt{a^2 - 4} + \frac{8}{3}a - \frac{16}{3} \\ &= -\frac{1}{3}a^3 + \frac{4}{3}a + \frac{1}{3}(a^2 - 4)^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}a - \frac{16}{3} \\ &= \frac{1}{3}(a^2 - 4)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}a^3 + 4a - \frac{16}{3} \end{aligned} $$

解法2

面積 $S$ を $y$ 軸方向の積分で計算する。

放物線 $y = 4 - x^2$ の第1象限の部分は、$x > 0$ より $x = \sqrt{4 - y}$ と表せる。

また、接線 $y = -2tx + t^2 + 4$ は $x = \frac{t^2 + 4 - y}{2t}$ と表せる。

求める面積 $S$ は、$y$ が $0$ から $4 - t^2$ まで変化するときの、右側の直線から左側の曲線を引いた定積分で求まる。

$$ S = \int_0^{4-t^2} \left( \frac{t^2 + 4 - y}{2t} - \sqrt{4 - y} \right) dy $$

これを計算する。

$$ \begin{aligned} S &= \left[ -\frac{(t^2 + 4 - y)^2}{4t} + \frac{2}{3}(4 - y)^{\frac{3}{2}} \right]_0^{4-t^2} \\ &= \left( -\frac{(2t^2)^2}{4t} + \frac{2}{3}(t^2)^{\frac{3}{2}} \right) - \left( -\frac{(t^2 + 4)^2}{4t} + \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= \left( -t^3 + \frac{2}{3}t^3 \right) + \frac{(t^2 + 4)^2}{4t} - \frac{16}{3} \\ &= -\frac{1}{3}t^3 + \frac{(t^2 + 4)^2}{4t} - \frac{16}{3} \end{aligned} $$

ここで、解法1の①より $t^2 + 4 = 2at$ であるから、

$$ \frac{(t^2 + 4)^2}{4t} = \frac{(2at)^2}{4t} = \frac{4a^2 t^2}{4t} = a^2 t $$

よって、

$$ S = a^2 t - \frac{1}{3}t^3 - \frac{16}{3} $$

となり、以後は解法1の途中式と同じ手順で $S$ を $a$ の式で表すことができる。