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東京工業大学 2012年理系第3問解説

方針・初手

（1）については、$C$ の方程式と $l$ の方程式を連立し、$x=0$ 以外の実数解をもつための条件を判別式から求める。（2）については、(1) で求めた範囲において $C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ と文字でおき、それらと $0$ の大小関係によって場合分けを行う。積分計算においては、解と係数の関係を利用して被積分関数や原始関数を簡略化し、最終的に面積 $S(a)$ を1変数の関数に帰着させて増減を調べる。

解法1

(1)

曲線 $C: y = x^3 - 3x^2 + 2x$ と直線 $l: y = ax$ の共有点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$ x^3 - 3x^2 + 2x = ax $$

$$ x(x^2 - 3x + 2 - a) = 0 $$

$C$ と $l$ が原点 ($x=0$) 以外の共有点をもつ条件は、2次方程式

$$ x^2 - 3x + 2 - a = 0 $$

が実数解をもつことである。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ であればよいので

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - a) \ge 0 $$

$$ 1 + 4a \ge 0 $$

$$ a \ge -\frac{1}{4} $$

これが求める $a$ の範囲である。

(2)

$a \ge -\frac{1}{4}$ のとき、$x^2 - 3x + 2 - a = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha \le \beta$) とおく。解と係数の関係より、以下が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = 3 $$

$$ \alpha\beta = 2 - a $$

$C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は $x = 0, \alpha, \beta$ である。これら3点の大小関係は $\alpha\beta = 2-a$ の符号によって変わるため、場合分けを行う。

(i)

$-\frac{1}{4} \le a \le 2$ のとき

$\alpha\beta \ge 0$ であり、$\alpha + \beta = 3 > 0$ であるから $0 \le \alpha \le \beta$ となる。区間 $0 \le x \le \alpha$ では $x^3 - 3x^2 + (2-a)x = x(x-\alpha)(x-\beta) \ge 0$ となり $C$ は $l$ の上側にあり、区間 $\alpha \le x \le \beta$ では $C$ は $l$ の下側にある。したがって、面積 $S(a)$ は次のように表される。

$$ S(a) = \int_0^\alpha (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx - \int_\alpha^\beta (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx $$

ここで、$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{2-a}{2}x^2$ とおくと

$$ S(a) = [F(x)]_0^\alpha - [F(x)]_\alpha^\beta = 2F(\alpha) - F(\beta) - F(0) $$

$F(0) = 0$ であり、$F(\alpha)$ に $2-a = \alpha(3-\alpha) = 3\alpha - \alpha^2$ を代入して整理する。

$$ F(\alpha) = \frac{1}{4}\alpha^4 - \alpha^3 + \frac{3\alpha - \alpha^2}{2}\alpha^2 = -\frac{1}{4}\alpha^4 + \frac{1}{2}\alpha^3 $$

同様に $F(\beta) = -\frac{1}{4}\beta^4 + \frac{1}{2}\beta^3$ となるため、$S(a)$ は以下のように計算できる。

$$ S(a) = 2 \left( -\frac{1}{4}\alpha^4 + \frac{1}{2}\alpha^3 \right) - \left( -\frac{1}{4}\beta^4 + \frac{1}{2}\beta^3 \right) $$

$\beta = 3 - \alpha$ を代入して展開し、$\alpha$ について整理する。

$$ S(a) = -\frac{1}{2}\alpha^4 + \alpha^3 + \frac{1}{4}(3-\alpha)^4 - \frac{1}{2}(3-\alpha)^3 $$

$$ S(a) = -\frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{3}{2}\alpha^3 + 9\alpha^2 - \frac{27}{2}\alpha + \frac{27}{4} $$

これを $\alpha$ の関数とみて $g(\alpha)$ とおく。$a$ が $-\frac{1}{4} \le a \le 2$ を動くとき、$\alpha = \frac{3-\sqrt{1+4a}}{2}$ より $\alpha$ は $0 \le \alpha \le \frac{3}{2}$ の範囲を動く。 $g(\alpha)$ を $\alpha$ で微分する。

$$ g'(\alpha) = -\alpha^3 - \frac{9}{2}\alpha^2 + 18\alpha - \frac{27}{2} = -\frac{1}{2}(2\alpha^3 + 9\alpha^2 - 36\alpha + 27) $$

$2\alpha^3 + 9\alpha^2 - 36\alpha + 27 = 0$ は $\alpha = \frac{3}{2}$ を解にもつため、因数分解できる。

$$ g'(\alpha) = -\frac{1}{2}(2\alpha - 3)(\alpha^2 + 6\alpha - 9) $$

$0 \le \alpha \le \frac{3}{2}$ において $2\alpha - 3 \le 0$ であるから、$g'(\alpha)$ の符号は $\alpha^2 + 6\alpha - 9$ の符号と一致する。 $\alpha^2 + 6\alpha - 9 = 0$ の正の解は $\alpha = -3 + 3\sqrt{2} = 3(\sqrt{2}-1)$ であり、これは区間内に含まれる。したがって $g(\alpha)$ は $\alpha = 3(\sqrt{2}-1)$ のとき最小となる。このときの $a$ の値は

$$ a = \alpha^2 - 3\alpha + 2 = (3\sqrt{2}-3)^2 - 3(3\sqrt{2}-3) + 2 = 38 - 27\sqrt{2} $$

(ii)

$a > 2$ のとき

$\alpha\beta < 0$ であるから $\alpha < 0 < \beta$ となる。区間 $\alpha \le x \le 0$ では $C$ は $l$ の上側にあり、区間 $0 \le x \le \beta$ では $C$ は $l$ の下側にある。面積 $S(a)$ は次のように表される。

$$ S(a) = \int_\alpha^0 (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx - \int_0^\beta (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx $$

$$ S(a) = [F(x)]_\alpha^0 - [F(x)]_0^\beta = -F(\alpha) - F(\beta) $$

(i) と同様に計算して $\beta = 3 - \alpha$ を代入すると、以下のようになる。

$$ S(a) = \frac{1}{4}\alpha^4 - \frac{1}{2}\alpha^3 + \frac{1}{4}(3-\alpha)^4 - \frac{1}{2}(3-\alpha)^3 = \frac{1}{2}\alpha^4 - 3\alpha^3 + 9\alpha^2 - \frac{27}{2}\alpha + \frac{27}{4} $$

これを $h(\alpha)$ とおいて微分する。

$$ h'(\alpha) = 2\alpha^3 - 9\alpha^2 + 18\alpha - \frac{27}{2} = \frac{1}{2}(4\alpha^3 - 18\alpha^2 + 36\alpha - 27) $$

$a > 2$ のとき $\alpha < 0$ であり、$h'(\alpha) < 0$ となるため $h(\alpha)$ は $\alpha$ について単調減少である。一方で $a = \alpha^2 - 3\alpha + 2$ を $\alpha$ で微分すると $\frac{da}{d\alpha} = 2\alpha - 3 < 0$ であるため、$a$ が増加するとき $\alpha$ は減少する。よって $a > 2$ において $a$ が増加すると $\alpha$ は減少し、$S(a) = h(\alpha)$ は増加する。すなわち $S(a)$ は単調増加であり最小値をもたない。

以上 (i), (ii) より、$S(a)$ が最小となるのは $a = 38 - 27\sqrt{2}$ のときである。

解法2

定積分で表された関数の微分（ライプニッツの公式）を用いた別解。

(1) および $\alpha, \beta$ の設定と場合分けは解法1と同様とする。

(i)

$-\frac{1}{4} \le a \le 2$ のとき ($0 \le \alpha \le \beta$)

$$ S(a) = \int_0^\alpha (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx - \int_\alpha^\beta (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx $$

境界値 $x=\alpha, \beta$ において被積分関数は $0$ となるため、$S(a)$ を $a$ で直接微分すると、被積分関数の $a$ による偏微分項のみが残り、次のように計算できる。

$$ S'(a) = \int_0^\alpha (-x) dx - \int_\alpha^\beta (-x) dx $$

$$ S'(a) = \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_0^\alpha - \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_\alpha^\beta = -\frac{1}{2}\alpha^2 - \left( -\frac{1}{2}\beta^2 + \frac{1}{2}\alpha^2 \right) = \frac{1}{2}(\beta^2 - 2\alpha^2) $$

$S'(a) = 0$ となるのは $\beta^2 = 2\alpha^2$ のときであり、$\alpha \ge 0, \beta \ge 0$ より $\beta = \sqrt{2}\alpha$ となる。これを $\alpha + \beta = 3$ に代入すると

$$ (1+\sqrt{2})\alpha = 3 \quad \implies \quad \alpha = \frac{3}{\sqrt{2}+1} = 3(\sqrt{2}-1) $$

この前後で $S'(a) = \frac{1}{2}(\beta - \sqrt{2}\alpha)(\beta + \sqrt{2}\alpha)$ の符号は負から正に変化するため、ここで $S(a)$ は最小となる。このときの $a$ の値は解と係数の関係 $a = 2 - \alpha\beta$ より

$$ a = 2 - 3(\sqrt{2}-1) \cdot 3\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 2 - 9\sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2}) = 38 - 27\sqrt{2} $$

(ii)

$a > 2$ のとき ($\alpha < 0 < \beta$)

$$ S(a) = \int_\alpha^0 (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx - \int_0^\beta (x^3 - 3x^2 + (2-a)x) dx $$

同様に $S(a)$ を $a$ で微分する。

$$ S'(a) = \int_\alpha^0 (-x) dx - \int_0^\beta (-x) dx = \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_\alpha^0 - \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_0^\beta = \frac{1}{2}\alpha^2 + \frac{1}{2}\beta^2 $$

$\alpha < 0 < \beta$ より常に $S'(a) > 0$ となるため、$S(a)$ は単調増加である。

以上より、$S(a)$ を最小とする $a$ の値は $a = 38 - 27\sqrt{2}$ である。

解説

2つのグラフによって囲まれる面積を問う問題である。共有点の $x$ 座標を無理に解の公式で計算して最後まで代入し続けるのではなく、文字 $\alpha, \beta$ とおいて解と係数の関係を有効活用する処理が非常に重要である。また、パラメータ $a$ の値によって交点と原点の位置関係（大小関係）が入れ替わるため、丁寧に場合分けをしてそれぞれの積分区間を正しく設定しなければならない。解法2で示した「面積をそのままパラメータで微分する手法」は、積分区間の端点が被積分関数の解となっている場合に劇的に計算量を減らすことができる実戦的なテクニックである。