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東京工業大学 1992年理系第3問解説

方針・初手

点 $(1, c)$ を通る直線 $l$ の傾きを $m$ とおき、直線の方程式を立てる。放物線と直線の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とし、解と係数の関係を用いて交点間の距離 $\beta - \alpha$ を $m$ で表す。面積を求める定積分において $\frac{1}{6}$ 公式を利用し、面積 $S$ を $m$ の関数として表したうえで、その最小値を求める。

解法1

直線 $l$ が $y$ 軸と平行な場合（直線 $x=1$）、放物線 $y=x^2$ とは1点でしか交わらず図形を囲まない。したがって、$l$ は $y$ 軸と平行ではないため、その傾きを $m$ とおくことができる。直線 $l$ は点 $(1, c)$ を通るため、その方程式は

$$ y = m(x - 1) + c $$

となる。放物線 $y = x^2$ と直線 $l$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 = m(x - 1) + c $$

$$ x^2 - mx + m - c = 0 $$

の解である。この2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} D &= (-m)^2 - 4(m - c) \\ &= m^2 - 4m + 4c \\ &= (m - 2)^2 + 4(c - 1) \end{aligned} $$

条件より $c > 1$ であるから $4(c - 1) > 0$ となり、常に $D > 0$ が成り立つ。したがって、放物線と直線は常に異なる2点で交わり、面積をもつ図形を囲む。

2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = m, \quad \alpha\beta = m - c $$

が成り立つ。放物線と直線で囲まれる図形の面積 $S$ は

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta} \{m(x - 1) + c - x^2\} dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned} $$

となる。ここで、$(\beta - \alpha)^2$ を計算すると

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= m^2 - 4(m - c) \\ &= m^2 - 4m + 4c \\ &= (m - 2)^2 + 4(c - 1) \end{aligned} $$

$\beta - \alpha > 0$ より

$$ \beta - \alpha = \sqrt{(m - 2)^2 + 4(c - 1)} $$

よって、面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{6} \left\{ (m - 2)^2 + 4(c - 1) \right\}^{\frac{3}{2}} $$

と表される。 $c$ は定数であるため、$S$ は $(m - 2)^2 = 0$ のとき、すなわち $m = 2$ のとき最小となる。このとき、最小面積は

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{6} \{ 4(c - 1) \}^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{1}{6} \cdot 8(c - 1)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{3}(c - 1)\sqrt{c - 1} \end{aligned} $$

となる。

解説

放物線と直線が囲む面積の最小値を求める典型的な問題である。交点の $x$ 座標を直接求めると計算が煩雑になるため、交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を利用して定積分の $\frac{1}{6}$ 公式に帰着させるのが定石である。面積 $S$ が交点の $x$ 座標の差 $\beta - \alpha$ の3乗に比例することから、$(\beta - \alpha)^2$ （すなわち2次方程式の判別式 $D$）の最小化を考えればよいことに気づけると、見通しよく計算を進めることができる。