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九州大学 1961年文系第1問解説

方針・初手

与えられた3つの値は、関数 $f(x) = \frac{a+x}{b+x}$ において、それぞれ $x=0$、$x=x$、$x=x'$ を代入した値、すなわち $f(0)$、$f(x)$、$f(x')$ とみなすことができる。したがって、関数 $f(x)$ の $x \ge 0$ における増減を調べることで、これら3つの値の大小関係を比較できる。分数関数の増減は、分子の次数を下げて定数にすることで見やすくなる。また、$a, b$ は異なる正の数であると与えられているため、$a > b$ の場合と $a < b$ の場合で分けて考える必要がある。

解法1

関数 $f(x) = \frac{a+x}{b+x}$ を変形すると、

$$f(x) = \frac{(b+x) + (a-b)}{b+x} = 1 + \frac{a-b}{x+b}$$

となる。ここで、$a, b$ は正の数であり、$0 < x < x'$ であることから、$x+b > 0$、$x'+b > 0$ である。 $x$ の増加に伴って分母 $x+b$ は単調に増加するため、分子 $a-b$ の符号によって関数 $f(x)$ の増減が変わる。

(i) $a > b$ のとき分子 $a-b > 0$ である。 $x \ge 0$ において、$x$ の値が増加すると分母 $x+b$ は増加するため、$\frac{a-b}{x+b}$ は減少する。すなわち、$f(x)$ は単調に減少する。 $0 < x < x'$ であるから、

$$f(0) > f(x) > f(x')$$

が成り立つ。よって、

$$\frac{a}{b} > \frac{a+x}{b+x} > \frac{a+x'}{b+x'}$$

となる。

(ii) $a < b$ のとき分子 $a-b < 0$ である。 $x \ge 0$ において、$x$ の値が増加すると分母 $x+b$ は増加するため、負の値である $\frac{a-b}{x+b}$ は増加（絶対値は減少）する。すなわち、$f(x)$ は単調に増加する。 $0 < x < x'$ であるから、

$$f(0) < f(x) < f(x')$$

が成り立つ。よって、

$$\frac{a}{b} < \frac{a+x}{b+x} < \frac{a+x'}{b+x'}$$

となる。

後半の問いについて、(i) および (ii) の結果から、これは関数 $f(x)$ が $x \ge 0$ において、$a > b$ のときは単調に減少し、$a < b$ のときは単調に増加することを表している。

解法2

直接、2数ずつの差をとって大小を比較する。

$f(x) - f(0)$ を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} &= \frac{b(a+x) - a(b+x)}{b(b+x)} \\ &= \frac{ab + bx - ab - ax}{b(b+x)} \\ &= \frac{(b-a)x}{b(b+x)} \end{aligned}$$

次に、$f(x') - f(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{a+x'}{b+x'} - \frac{a+x}{b+x} &= \frac{(a+x')(b+x) - (a+x)(b+x')}{(b+x')(b+x)} \\ &= \frac{(ab+ax+bx'+x'x) - (ab+ax'+bx+xx')}{(b+x)(b+x')} \\ &= \frac{(b-a)x' - (b-a)x}{(b+x)(b+x')} \\ &= \frac{(b-a)(x'-x)}{(b+x)(b+x')} \end{aligned}$$

ここで、$a, b$ は正の数、$0 < x < x'$ より、$x > 0, b > 0, x'-x > 0, b+x > 0, b+x' > 0$ である。したがって、各差の符号は $b-a$ の符号と一致する。

(i) $a > b$（すなわち $b-a < 0$）のとき $f(x) - f(0) < 0$ より $f(0) > f(x)$ $f(x') - f(x) < 0$ より $f(x) > f(x')$ よって、$f(0) > f(x) > f(x')$ となり、

$$\frac{a}{b} > \frac{a+x}{b+x} > \frac{a+x'}{b+x'}$$

(ii) $a < b$（すなわち $b-a > 0$）のとき $f(x) - f(0) > 0$ より $f(0) < f(x)$ $f(x') - f(x) > 0$ より $f(x) < f(x')$ よって、$f(0) < f(x) < f(x')$ となり、

$$\frac{a}{b} < \frac{a+x}{b+x} < \frac{a+x'}{b+x'}$$

この結果は、$x$ が増加するにつれて関数 $f(x)$ の値が、$a > b$ のときは常に減少し、$a < b$ のときは常に増加することを意味する。

解説

分数式の大小比較や関数の増減を調べる基本的な問題である。分子・分母に変数 $x$ が含まれる分数関数 $f(x) = \frac{cx+d}{ex+f}$ の増減を考える際は、「分子の次数を分母の次数より小さくする（割り算を実行する）」という式変形が鉄則である。これにより、変化する部分が1箇所になり、直感的に増減を把握できるようになる。また、直接差をとって比較する手法も大小比較の定石であり、因数分解によって符号の判定が容易な形に帰着できる。

問題文で「$a, b$が異なる正の数」と与えられていることから、「$a > b$」と「$a < b$」の2つの場合があることに気づき、それぞれについて場合分けを行って記述することが重要である。