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九州大学 1982年文系第4問解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を微分し、極値をとる条件 $f'(\alpha) = 0$、$f'(\beta) = 0$ を立式します。さらに $f(\beta) = 1$ であることと、$f(x)$ の定数項が $1$ であることに着目すると、文字の消去がスムーズに進みます。その結果を用いて $\alpha$、$a$、$b$ を $\beta$ で表し、$f(\alpha) = 33$ の条件から $\beta$ を決定します。

後半の面積計算では、(1) で求めた関数 $f(x)$ と直線 $y = 1$ の交点を求め、定積分を計算します。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ より、これを微分すると

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$

$f(x)$ は $x = \alpha$ で極大値、$x = \beta$ で極小値をとるため、$f'(x) = 0$ は $x = \alpha, \beta$ を解にもち、$\alpha < \beta$ が成り立つ。

また、$x = \beta$ で極小値 $1$ をとることから、$f(\beta) = 1$ であり、

$$\beta^3 + a\beta^2 + b\beta + 1 = 1$$

$$\beta (\beta^2 + a\beta + b) = 0$$

条件より $\beta > 0$ であるから、

$$\beta^2 + a\beta + b = 0$$

一方、$f'(\beta) = 0$ であるから、

$$3\beta^2 + 2a\beta + b = 0$$

上の2式の辺々を引いて $b$ を消去すると、

$$2\beta^2 + a\beta = 0$$

$$\beta(2\beta + a) = 0$$

$\beta > 0$ より $2\beta + a = 0$ となり、

$$a = -2\beta$$

これを $\beta^2 + a\beta + b = 0$ に代入して $b$ を求めると、

$$\beta^2 - 2\beta^2 + b = 0$$

$$b = \beta^2$$

これらの $a, b$ を $f'(x)$ に代入すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 4\beta x + \beta^2 \\ &= (3x - \beta)(x - \beta) \end{aligned}$$

したがって、$f'(x) = 0$ の解は $x = \frac{\beta}{3}, \beta$ となる。

$\beta > 0$ より $\frac{\beta}{3} < \beta$ であるから、極大値をとる $x$ の値は $\alpha = \frac{\beta}{3}$ と定まる。

次に、$x = \alpha = \frac{\beta}{3}$ で極大値 $33$ をとることから、$f\left(\frac{\beta}{3}\right) = 33$ である。これを計算すると、

$$\left(\frac{\beta}{3}\right)^3 + (-2\beta)\left(\frac{\beta}{3}\right)^2 + \beta^2\left(\frac{\beta}{3}\right) + 1 = 33$$

$$\frac{\beta^3}{27} - \frac{2\beta^3}{9} + \frac{\beta^3}{3} = 32$$

両辺に $27$ を掛けて整理すると、

$$\beta^3 - 6\beta^3 + 9\beta^3 = 864$$

$$4\beta^3 = 864$$

$$\beta^3 = 216$$

$\beta$ は実数であるから、$\beta = 6$ と求まる。

この結果から、各値は次のように決まる。

$$\alpha = \frac{6}{3} = 2$$

$$a = -2 \cdot 6 = -12$$

$$b = 6^2 = 36$$

(2)

(1) の結果より、$f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x + 1$ である。

曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 1$ の交点の $x$ 座標は、$f(x) = 1$ を解いて求める。

$$x^3 - 12x^2 + 36x + 1 = 1$$

$$x(x^2 - 12x + 36) = 0$$

$$x(x - 6)^2 = 0$$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 0, 6$ となる。

区間 $0 \leqq x \leqq 6$ において、$x(x - 6)^2 \geqq 0$ すなわち $f(x) \geqq 1$ が成り立つため、曲線 $y = f(x)$ は直線 $y = 1$ の上側（または境界上）にある。

したがって、求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{6} \{f(x) - 1\} \, dx \\ &= \int_{0}^{6} (x^3 - 12x^2 + 36x) \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - 4x^3 + 18x^2 \right]_{0}^{6} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 6^4 - 4 \cdot 6^3 + 18 \cdot 6^2 \\ &= 324 - 864 + 648 \\ &= 108 \end{aligned}$$

解説

(1) の連立方程式の処理が最大のポイントです。$f'(\alpha) = 0$ と $f'(\beta) = 0$ を解と係数の関係で処理して $\alpha + \beta = -\frac{2}{3}a$、$\alpha\beta = \frac{b}{3}$ を導くこともできますが、文字が増えて計算が煩雑になりがちです。本問では $f(x)$ の定数項が $1$ であることと、$f(\beta)=1$ の右辺が $1$ であることに気づくと、$1$ が相殺されて $\beta$ でくくれる形になり、計算量を大きく減らすことができます。

(2) は典型的な面積計算の問題です。被積分関数が $x(x-6)^2$ と因数分解できることから、グラフの上下関係がすぐにわかります。また、$\int_{0}^{6} x(x-6)^2 \, dx$ の計算においては、公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 \, dx = \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4$ を用いると、$\frac{1}{12} \cdot 6^4 = 108$ と暗算レベルで処理することも可能です。