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九州大学 2009年文系第2問解説

方針・初手

点 $C$ は「直線 $AB$ 上の点」かつ「$OC \perp AB$」という2つの条件を満たす点である。これらを立式して点 $C$ の座標を求める。後半の $\left|\overrightarrow{CP}\right|^2$ の計算は、成分のまま計算する手法と、ベクトルの絶対値と内積の値をあらかじめ求めておき展開する手法がある。本解答では計算を見通しよく進めるために後者を採用する。その後は $t$ の2次関数として平方完成を行い、指定された定義域における最小値を求める。

解法1

(1)

$\overrightarrow{OA} = (2, 6)$、$\overrightarrow{OB} = (3, 4)$ より、

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1, -2) $$

点 $C$ は直線 $AB$ 上にあるため、実数 $k$ を用いて以下のように表せる。

$$ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{AB} = (2+k, 6-2k) $$

$OC \perp AB$ より $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ であるから、

$$ (2+k) \cdot 1 + (6-2k) \cdot (-2) = 0 $$

展開して整理すると、

$$ 2 + k - 12 + 4k = 0 $$

$$ 5k = 10 $$

$$ k = 2 $$

これを $\overrightarrow{OC}$ の式に代入して、$\overrightarrow{OC} = (4, 2)$ を得る。よって、点 $C$ の座標は $(4, 2)$ である。

次に、$\left|\overrightarrow{CP}\right|^2$ を求める。$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ である。計算のために、各ベクトルの大きさの2乗と内積を求めておく。

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{OA}\right|^2 &= 2^2 + 6^2 = 40 \\ \left|\overrightarrow{OB}\right|^2 &= 3^2 + 4^2 = 25 \\ \left|\overrightarrow{OC}\right|^2 &= 4^2 + 2^2 = 20 \\ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} &= 2 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 30 \\ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} &= 2 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 20 \\ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} &= 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 20 \end{aligned} $$

これらを用いて $\left|\overrightarrow{CP}\right|^2$ を展開する。

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{CP}\right|^2 &= \left|s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}\right|^2 \\ &= s^2\left|\overrightarrow{OA}\right|^2 + t^2\left|\overrightarrow{OB}\right|^2 + \left|\overrightarrow{OC}\right|^2 + 2st(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) - 2s(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}) - 2t(\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}) \\ &= 40s^2 + 25t^2 + 20 + 2st \cdot 30 - 2s \cdot 20 - 2t \cdot 20 \\ &= 40s^2 + 25t^2 + 60st - 40s - 40t + 20 \end{aligned} $$

(2)

(1) で求めた式に $s = \frac{1}{2}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{CP}\right|^2 &= 40\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 25t^2 + 60\left(\frac{1}{2}\right)t - 40\left(\frac{1}{2}\right) - 40t + 20 \\ &= 10 + 25t^2 + 30t - 20 - 40t + 20 \\ &= 25t^2 - 10t + 10 \end{aligned} $$

$t$ について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} 25t^2 - 10t + 10 &= 25\left(t^2 - \frac{2}{5}t\right) + 10 \\ &= 25\left(t - \frac{1}{5}\right)^2 - 25\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 10 \\ &= 25\left(t - \frac{1}{5}\right)^2 + 9 \end{aligned} $$

$t \geqq 0$ の範囲において、この関数は $t = \frac{1}{5}$ のときに最小値をとる。したがって、求める最小値は $9$ である。

(3)

(1) で求めた式に $s = 1$ を代入する。

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{CP}\right|^2 &= 40\cdot 1^2 + 25t^2 + 60\cdot 1 \cdot t - 40\cdot 1 - 40t + 20 \\ &= 40 + 25t^2 + 60t - 40 - 40t + 20 \\ &= 25t^2 + 20t + 20 \end{aligned} $$

$t$ について平方完成を行う。

$$ \begin{aligned} 25t^2 + 20t + 20 &= 25\left(t^2 + \frac{4}{5}t\right) + 20 \\ &= 25\left(t + \frac{2}{5}\right)^2 - 25\left(\frac{2}{5}\right)^2 + 20 \\ &= 25\left(t + \frac{2}{5}\right)^2 - 4 + 20 \\ &= 25\left(t + \frac{2}{5}\right)^2 + 16 \end{aligned} $$

この2次関数のグラフは $t = -\frac{2}{5}$ を軸とする下に凸の放物線である。 $t \geqq 0$ の範囲において、この関数は単調増加となるため、$t = 0$ のときに最小値をとる。したがって、求める最小値は $20$ である。

解説

(1) の点 $C$ の座標は、直線 $AB$ の方程式 $y = -2x + 10$ と直線 $OC$ の方程式 $y = \frac{1}{2}x$ の交点を連立方程式で求める方法でも容易に導出できる。 $\left|\overrightarrow{CP}\right|^2$ の計算では、$\overrightarrow{CP} = (2s+3t-4, 6s+4t-2)$ と成分を求めてから2乗を展開してもよいが、解答例のように事前に基本となる内積などを求めてベクトル展開するほうが、項の整理がしやすく計算ミスを防ぎやすい。 (2) と (3) は基本的な2次関数の最小値問題であるが、頂点の $t$ 座標（軸の位置）が定義域 $t \geqq 0$ に含まれるかどうかが異なる。定義域の端点と軸の位置関係に注意して最小値を判定することが重要である。