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大阪大学 1999年文系第2問解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を文字でおき、接線 $l_1$ とそれに直交する直線 $l_2$ の方程式を求める。そこから放物線との交点 $Q$ や、2つの接線 $l_1, l_3$ の交点 $R$ の座標を計算していく。 $l_1$ と $l_2$ が直交することから、直線 $PR$ と直線 $PQ$ も直交する。この性質と直線の傾きを利用して線分の長さを表現すると、煩雑な計算を回避できる。

解法1

(1)

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とおく。点 $P$ は原点以外の点であるから $p \neq 0$ である。点 $P$ の座標は $(p, \frac{1}{2}p^2)$ と表せる。

$y = \frac{1}{2}x^2$ を微分すると $y' = x$ となるため、点 $P$ における接線 $l_1$ の傾きは $p$ である。したがって、$l_1$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - \frac{1}{2}p^2 = p(x - p) $$

これを整理して、$l_1$ の方程式を得る。

$$ y = px - \frac{1}{2}p^2 $$

直線 $l_2$ は点 $P$ を通り $l_1$ に直交する直線であるから、その傾きは $-\frac{1}{p}$ である。 $l_2$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - \frac{1}{2}p^2 = -\frac{1}{p}(x - p) $$

これを整理して、$l_2$ の方程式を得る。

$$ y = -\frac{1}{p}x + 1 + \frac{1}{2}p^2 $$

次に、$l_2$ と放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ の交点 $Q$ の $x$ 座標を求める。 $l_2$ の式と $C$ の式から $y$ を消去する。

$$ \frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{p}x + 1 + \frac{1}{2}p^2 $$

両辺を2倍して整理する。

$$ x^2 + \frac{2}{p}x - (p^2 + 2) = 0 $$

点 $P$ が交点の1つであることから、この2次方程式は $x = p$ を解にもつ。したがって次のように因数分解できる。

$$ (x - p)\left(x + p + \frac{2}{p}\right) = 0 $$

点 $Q$ は点 $P$ と異なる交点であるから、点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると、次のように表せる。

$$ q = -p - \frac{2}{p} $$

点 $Q(q, \frac{1}{2}q^2)$ における接線 $l_3$ の方程式は、$l_1$ と同様にして次のように表せる。

$$ y = qx - \frac{1}{2}q^2 $$

点 $R(x, y)$ は接線 $l_1$ と $l_3$ の交点であるから、2式の $y$ を消去する。

$$ px - \frac{1}{2}p^2 = qx - \frac{1}{2}q^2 $$

$$ (p - q)x = \frac{1}{2}(p^2 - q^2) $$

$p \neq q$ であるから、両辺を $p - q$ で割って $x$ 座標を求める。

$$ x = \frac{p + q}{2} $$

これを $l_1$ の式に代入して $y$ 座標を求める。

$$ y = p \cdot \frac{p + q}{2} - \frac{1}{2}p^2 = \frac{pq}{2} $$

これらに $q = -p - \frac{2}{p}$ を代入する。

$$ x = \frac{1}{2}\left(p - p - \frac{2}{p}\right) = -\frac{1}{p} $$

$$ y = \frac{1}{2}p\left(-p - \frac{2}{p}\right) = -\frac{1}{2}p^2 - 1 $$

よって、$R$ の座標は $(-\frac{1}{p}, -\frac{1}{2}p^2 - 1)$ となる。 $p \neq 0$ であるから $x \neq 0$ であり、$p = -\frac{1}{x}$ となる。これを $y$ の式に代入して、$x$ と $y$ の関係式を得る。

$$ y = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{x}\right)^2 - 1 = -\frac{1}{2x^2} - 1 $$

(2)

$PR \geqq PQ$ であるための条件は、両辺が正であるから $PR^2 \geqq PQ^2$ と同値である。点 $P(p, \frac{1}{2}p^2)$ と点 $R(-\frac{1}{p}, -\frac{1}{2}p^2 - 1)$ の距離の2乗 $PR^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} PR^2 &= \left(-\frac{1}{p} - p\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}p^2 - 1 - \frac{1}{2}p^2\right)^2 \\ &= \left(-\frac{p^2 + 1}{p}\right)^2 + (-p^2 - 1)^2 \\ &= \frac{(p^2 + 1)^2}{p^2} + (p^2 + 1)^2 \\ &= \frac{(p^2 + 1)^2}{p^2}(1 + p^2) \\ &= \frac{(p^2 + 1)^3}{p^2} \end{aligned} $$

一方、直線 $PQ$ は $l_2$ であり、その傾きは $-\frac{1}{p}$ である。 $Q$ は直線 $PQ$ 上の点であるから、$PQ^2$ は $x$ 座標の差 $q - p$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= (q - p)^2 + \left\{-\frac{1}{p}(q - p)\right\}^2 \\ &= (q - p)^2\left(1 + \frac{1}{p^2}\right) \\ &= (q - p)^2\frac{p^2 + 1}{p^2} \end{aligned} $$

ここで $q - p = -2p - \frac{2}{p} = -2\frac{p^2 + 1}{p}$ であるから、これを代入する。

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= \left(-2\frac{p^2 + 1}{p}\right)^2 \frac{p^2 + 1}{p^2} \\ &= \frac{4(p^2 + 1)^2}{p^2} \frac{p^2 + 1}{p^2} \\ &= \frac{4(p^2 + 1)^3}{p^4} \end{aligned} $$

条件 $PR^2 \geqq PQ^2$ にこれらを代入する。

$$ \frac{(p^2 + 1)^3}{p^2} \geqq \frac{4(p^2 + 1)^3}{p^4} $$

$p^2 + 1 > 0$ であるから、両辺に $\frac{p^4}{(p^2 + 1)^3} > 0$ を掛けて整理する。

$$ p^2 \geqq 4 $$

$$ (p - 2)(p + 2) \geqq 0 $$

これを解いて $p \leqq -2$ または $2 \leqq p$ を得る。点 $P$ の $x$ 座標は $p$ であるから、求める範囲は $x \leqq -2$ または $2 \leqq x$ である。

解説

放物線の接線と法線を題材とした標準的な微積分・座標幾何の問題である。放物線 $y = ax^2$ 上の $x = \alpha, \beta$ における2つの接線の交点座標が $(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta)$ になることは頻出の性質であり、知っていると計算の検算に役立つ。

(2)の線分の長さの計算では、素直に2点間の距離の公式を用いると式が複雑になりがちであるが、直線の傾きを利用して $x$ 座標の差のみで斜辺の長さを表現すると、計算ミスを防ぐことができる。また、図形的な意味に注目すると、直線 $PR$ は $l_1$ であり直線 $PQ$ は $l_2$ であるため、問題の条件から $PR \perp PQ$ となる。つまり $\triangle PQR$ は $\angle P = 90^\circ$ の直角三角形であるという関係性に気づけば、処理の見通しがさらに良くなる。