東京工業大学 1966年 理系 第6問 解説

方針・初手

被積分関数が多項式（$x$）と指数関数（$e^x$）、三角関数（$\sin x$）の積となっている。異なる種類の関数の積の積分であるため、部分積分法を用いるのが基本方針となる。

微分すると次数が下がる多項式 $x$ を微分の側に回り回らせ、指数関数と三角関数の積 $e^x \sin x$ を積分の側に回すことで計算を進める。そのためには、まず $e^x \sin x$ の不定積分を求めておくか、もしくは求める関数の形を予測して未定係数法を用いる手法が有効である。

解法1

まず、部分積分を実行するために $\int e^x \sin x dx$ と $\int e^x \cos x dx$ の不定積分を求める。 積の微分法より、以下の2式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} (e^x \sin x)' &= e^x \sin x + e^x \cos x \\ (e^x \cos x)' &= e^x \cos x - e^x \sin x \end{aligned} $$

上の式から下の式を辺々引くと、

$$ (e^x \sin x - e^x \cos x)' = 2e^x \sin x $$

両辺を $x$ で積分して整理すると、

$$ \int e^x \sin x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C_1 \quad (C_1 \text{は積分定数}) $$

同様に、上の2式を辺々足すと、

$$ (e^x \sin x + e^x \cos x)' = 2e^x \cos x $$

両辺を $x$ で積分して整理すると、

$$ \int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C_2 \quad (C_2 \text{は積分定数}) $$

これらを用いて、与えられた定積分を部分積分法により計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x e^x \sin x dx &= \int_0^\pi x \left\{ \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) \right\}' dx \\ &= \left[ x \cdot \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) dx \\ &= \frac{1}{2} \pi e^\pi (\sin \pi - \cos \pi) - 0 - \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x \sin x dx + \frac{1}{2} \int_0^\pi e^x \cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \pi e^\pi (0 - (-1)) - \left[ \frac{1}{4} e^x (\sin x - \cos x) \right]_0^\pi + \left[ \frac{1}{4} e^x (\sin x + \cos x) \right]_0^\pi \\ &= \frac{1}{2} \pi e^\pi - \frac{1}{4} \{ e^\pi(0 - (-1)) - e^0(0 - 1) \} + \frac{1}{4} \{ e^\pi(0 + (-1)) - e^0(0 + 1) \} \\ &= \frac{1}{2} \pi e^\pi - \frac{1}{4} (e^\pi + 1) + \frac{1}{4} (-e^\pi - 1) \\ &= \frac{1}{2} \pi e^\pi - \frac{1}{2} e^\pi - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} (\pi e^\pi - e^\pi - 1) \end{aligned} $$

解法2

不定積分 $\int x e^x \sin x dx$ を未定係数法によって直接求める。 被積分関数の形から、その原始関数は $(ax+b)e^x \sin x + (cx+d)e^x \cos x$ の形になると予想できる（$a, b, c, d$ は定数）。 そこで、

$$ f(x) = (ax+b)e^x \sin x + (cx+d)e^x \cos x $$

とおき、$f'(x) = x e^x \sin x$ が恒等的に成り立つような定数 $a, b, c, d$ を求める。積の微分法を用いて $f(x)$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= a e^x \sin x + (ax+b)e^x \sin x + (ax+b)e^x \cos x \\ &\quad + c e^x \cos x + (cx+d)e^x \cos x - (cx+d)e^x \sin x \\ &= \{ a + (ax+b) - (cx+d) \} e^x \sin x + \{ (ax+b) + c + (cx+d) \} e^x \cos x \\ &= \{ (a-c)x + a+b-d \} e^x \sin x + \{ (a+c)x + b+c+d \} e^x \cos x \end{aligned} $$

これが $x e^x \sin x$ と恒等的に等しくなる条件は、係数を比較して以下の連立方程式が成り立つことである。

$$ \begin{cases} a - c = 1 \\ a + b - d = 0 \\ a + c = 0 \\ b + c + d = 0 \end{cases} $$

第1式と第3式より、

$$ a = \frac{1}{2}, \quad c = -\frac{1}{2} $$

これらを第2式と第4式に代入すると、

$$ \begin{cases} \frac{1}{2} + b - d = 0 \\ b - \frac{1}{2} + d = 0 \end{cases} $$

辺々足し合わせると $2b = 0$ となり $b = 0$。したがって $d = \frac{1}{2}$ となる。 以上より、不定積分は以下のようになる。

$$ \int x e^x \sin x dx = \frac{1}{2} x e^x \sin x + \left(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right) e^x \cos x + C $$

この結果を用いて定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x e^x \sin x dx &= \left[ \frac{1}{2} x e^x \sin x + \frac{1-x}{2} e^x \cos x \right]_0^\pi \\ &= \left( \frac{1}{2} \pi e^\pi \sin \pi + \frac{1-\pi}{2} e^\pi \cos \pi \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} e^0 \cos 0 \right) \\ &= \left( 0 + \frac{1-\pi}{2} e^\pi (-1) \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \right) \\ &= \frac{\pi - 1}{2} e^\pi - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} (\pi e^\pi - e^\pi - 1) \end{aligned} $$

解説

指数関数と三角関数の積の積分は、大学入試において頻出の計算テーマである。解法1のように、微分公式を用いて $e^x \sin x$ と $e^x \cos x$ の積分をセットで導出する手法は、部分積分を機械的に2回繰り返すよりも計算の見通しが良くなりミスを防ぎやすい。

また、本問のようにさらに多項式 $x$ が掛け合わされている場合、部分積分の適用回数が増え、符号のミスなどが誘発されやすい。解法2で示した「未定係数法」は、微分すると同種の関数の和になるという性質を利用して原始関数を一気に求める強力な手法である。難関大の計算問題では計算量の削減に直結するため、ぜひ習得しておきたい。

答え

$$ \frac{1}{2} (\pi e^\pi - e^\pi - 1) $$