トップ› 北海道大学› 2000年› 理系第4問

北海道大学 2000年理系第4問解説

方針・初手

(1) は、定数 $A$ を分離して直線と曲線の交点の問題に帰着させる定石を用います。 (2) は、$e^t \cos t$ の定積分であり、部分積分法を2回用いて同形出現を利用して解きます。 (3) は、定積分を定数でおき、関数 $f(x)$ を決定する方程式を作ります。(1) の結果を利用できるように式変形を行い、実数解の個数を調べます。

解法1

(1)

方程式 $Ae^x - x = 0$ について、$e^x > 0$ であるから、両辺を $e^x$ で割ると

$$ A = x e^{-x} $$

となる。 $g(x) = x e^{-x}$ とおき、関数 $y = g(x)$ のグラフと直線 $y = A$ の交点のうち、$0 < x < 3$ にあるものの個数を考える。 $g(x)$ を微分すると

$$ g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x} $$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のときであり、$0 \leqq x \leqq 3$ における $g(x)$ の増減は以下のようになる。

$0 \leqq x < 1$ で $g'(x) > 0$ （単調増加） $x = 1$ で $g(1) = e^{-1}$ （極大かつ最大） $1 < x \leqq 3$ で $g'(x) < 0$ （単調減少）

また、両端の値は $g(0) = 0$、$g(3) = 3e^{-3}$ である。ここで、$e = 2.71\cdots < 3$ であることから $e^2 < 9$ より

$$ \frac{1}{e} - \frac{3}{e^3} = \frac{e^2 - 3}{e^3} > 0 $$

よって、$g(1) > g(3) > g(0)$ すなわち $e^{-1} > 3e^{-3} > 0$ が成り立つ。したがって、$0 < x < 3$ の範囲で直線 $y = A$ と曲線 $y = g(x)$ が異なる2点で交わるための条件は、グラフの概形より

$$ 3e^{-3} < A < e^{-1} $$

となる。

(2)

求める定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t \cos t dt $$

部分積分法を2回用いる。

$$ \begin{aligned} I &= \left[ e^t \cos t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t (-\sin t) dt \\ &= (0 - 1) + \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t \sin t dt \\ &= -1 + \left[ e^t \sin t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t \cos t dt \\ &= -1 + (e^{\frac{\pi}{2}} - 0) - I \end{aligned} $$

これより、$2I = e^{\frac{\pi}{2}} - 1$ となるから

$$ I = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2} $$

となる。

(3)

与えられた等式は

$$ \log f(x) = x - 3 + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t dt $$

である。定積分は定数であるから、$C = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t dt$ とおくと、

$$ \log f(x) = x - 3 + 2C $$

すなわち

$$ f(x) = e^{x - 3 + 2C} $$

となる。これを $C$ の定義式に代入すると、

$$ \begin{aligned} C &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{t - 3 + 2C} \cos t dt \\ &= e^{-3 + 2C} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^t \cos t dt \end{aligned} $$

(2) の結果を用いると、

$$ C = e^{-3 + 2C} \cdot \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2} $$

両辺に $2e^{-2C}$ をかけると、

$$ 2C e^{-2C} = e^{-3} (e^{\frac{\pi}{2}} - 1) $$

$$ 2C e^{-2C} = e^{\frac{\pi}{2} - 3} - e^{-3} $$

ここで、$X = 2C$ とおくと、

$$ X e^{-X} = e^{\frac{\pi}{2} - 3} - e^{-3} $$

となる。この方程式の実数解 $X$ が1つ定まると、$C = \frac{X}{2}$ となり、関数 $f(x) = e^{x - 3 + X}$ が1つ定まる。したがって、条件を満たす関数 $f(x)$ が2つ存在することを示すには、上の方程式が条件 $f(0) < 1$ を満たす実数解 $X$ を2つもつことを示せばよい。

$f(0) = e^{-3 + X}$ であるから、$f(0) < 1$ となる条件は

$$ e^{X - 3} < 1 \iff X - 3 < 0 \iff X < 3 $$

である。また、方程式の左辺は (1) の関数 $g(x) = x e^{-x}$ の $x$ を $X$ に置き換えたものである。定数 $A_0 = e^{\frac{\pi}{2} - 3} - e^{-3}$ とおくと、方程式は $g(X) = A_0$ となる。 (1) の結果より、この方程式が $X < 3$ の範囲に異なる2つの解をもつためには、$X > 0$ に注意して $0 < X < 3$ の範囲で2つの解をもつことを示せば十分であり、その条件は

$$ 3e^{-3} < A_0 < e^{-1} $$

である。これを証明する。

(i) $A_0 > 3e^{-3}$ の証明

$$ A_0 - 3e^{-3} = e^{\frac{\pi}{2} - 3} - 4e^{-3} = e^{-3} (e^{\frac{\pi}{2}} - 4) $$

ここで、$e = 2.71\cdots > 2.7$ であるから、$e^3 > 2.7^3 = 19.683 > 16 = 4^2$ より $e^{\frac{3}{2}} > 4$ である。また、$\pi = 3.14\cdots > 3$ より $\frac{\pi}{2} > \frac{3}{2}$ であるから、$e^{\frac{\pi}{2}} > e^{\frac{3}{2}} > 4$ となる。よって、$e^{\frac{\pi}{2}} - 4 > 0$ となり、$A_0 > 3e^{-3}$ が成り立つ。

(ii) $A_0 < e^{-1}$ の証明

$e^{-3} > 0$ より $A_0 < e^{\frac{\pi}{2} - 3}$ である。さらに、$\pi < 4$ より $\frac{\pi}{2} - 3 < 2 - 3 = -1$ であるから、底 $e > 1$ より $e^{\frac{\pi}{2} - 3} < e^{-1}$ が成り立つ。よって、$A_0 < e^{-1}$ が成り立つ。

(i), (ii) より、$3e^{-3} < A_0 < e^{-1}$ が示された。したがって、方程式 $g(X) = A_0$ は $0 < X < 3$ の範囲に異なる2つの実数解をもつ。よって、条件を満たす関数 $f(x)$ が2つ存在することが示された。

解説

微積分における定石を組み合わせた総合問題です。 (1) は定数分離による方程式の解の個数の議論、(2) は部分積分による定積分の計算、(3) は定積分を含む関数方程式の処理という、いずれも頻出のテーマです。特に (3) において、式を整理した後に (1) の関数 $g(x)$ と同じ形を見出し、(1) の結果を利用して解の個数を評価する流れに気づけるかが鍵となります。その際、$e$ や $\pi$ の近似値を用いた適切な不等式評価が求められます。