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九州大学 1980年理系第4問解説

方針・初手

与えられた式に含まれる積分 $\int_0^1 tg(t)dt$ と $\int_0^1 f(t)dt$ は、積分区間が定数から定数であり、被積分関数に変数 $x$ を含まないため、どちらも定数となる。これらの定積分をそれぞれ別の文字でおき、関数 $f(x), g(x)$ をその文字を用いて表す。その後、それらをおいた文字の定義式に代入し、定数に関する連立方程式を立てて解く。

解法1

$\int_0^1 tg(t)dt$ と $\int_0^1 f(t)dt$ は定数であるから、定数 $A, B$ を用いて次のように并く。

$$A = \int_0^1 tg(t)dt \quad \cdots \text{①}$$

$$B = \int_0^1 f(t)dt \quad \cdots \text{②}$$

これらを用いると、与えられた関数 $f(x), g(x)$ は以下のように表される。

$$f(x) = x^2 + A \quad \cdots \text{③}$$

$$g(x) = e^{-x} + Bx \quad \cdots \text{④}$$

③を②に代入して $B$ についての式を作る。

$$\begin{aligned} B &= \int_0^1 (t^2 + A)dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 + At \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} + A \end{aligned}$$

したがって、

$$B = A + \frac{1}{3} \quad \cdots \text{⑤}$$

次に、④を①に代入して $A$ についての式を作る。

$$\begin{aligned} A &= \int_0^1 t(e^{-t} + Bt)dt \\ &= \int_0^1 (te^{-t} + Bt^2)dt \end{aligned}$$

ここで、右辺の第1項の積分は部分積分を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 te^{-t}dt &= \left[ t(-e^{-t}) \right]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot (-e^{-t})dt \\ &= -e^{-1} - \left[ e^{-t} \right]_0^1 \\ &= -e^{-1} - (e^{-1} - 1) \\ &= 1 - 2e^{-1} \end{aligned}$$

右辺の第2項の積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 Bt^2dt &= \left[ \frac{B}{3}t^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3}B \end{aligned}$$

これらを $A$ の式に代入する。

$$A = 1 - 2e^{-1} + \frac{1}{3}B \quad \cdots \text{⑥}$$

⑤を⑥に代入して $A$ を求める。

$$\begin{aligned} A &= 1 - 2e^{-1} + \frac{1}{3} \left( A + \frac{1}{3} \right) \\ &= 1 - 2e^{-1} + \frac{1}{3}A + \frac{1}{9} \\ &= \frac{10}{9} - \frac{2}{e} + \frac{1}{3}A \end{aligned}$$

整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{2}{3}A &= \frac{10}{9} - \frac{2}{e} \\ A &= \frac{3}{2} \left( \frac{10}{9} - \frac{2}{e} \right) \\ &= \frac{5}{3} - \frac{3}{e} \end{aligned}$$

求めた $A$ を⑤に代入して $B$ を求める。

$$\begin{aligned} B &= \frac{5}{3} - \frac{3}{e} + \frac{1}{3} \\ &= 2 - \frac{3}{e} \end{aligned}$$

最後に、求めた $A, B$ の値を③、④にそれぞれ代入する。

$$f(x) = x^2 + \frac{5}{3} - \frac{3}{e}$$

$$g(x) = e^{-x} + \left( 2 - \frac{3}{e} \right)x$$

解説

積分方程式の基本問題である。積分区間が定数から定数までである定積分は、その結果が実数値（定数）になるという性質を利用する。今回は被積分関数に未知の関数 $f(t)$ と $g(t)$ が含まれており、それぞれの定積分を文字でおくことで、定数についての連立方程式に帰着させることができる。途中の定積分の計算で指数関数を含む部分積分が必要になるため、計算ミスに注意したい。