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九州大学 2002年理系第3問解説

方針・初手

(1) は、2変数 $x, y$ の不等式であるが、一文字を定数とみなしてもう一文字の関数として微分し、最小値が $0$ 以上になることを示すのが基本方針となる。または、$x, y > 0$ に着目して両辺を $y$ で割り、比 $t = \frac{x}{y}$ の関数として1変数の問題に帰着させることもできる。

(2) は、(1) で示した不等式が「すべての正の実数 $x, y$ に対して」成り立つことに着目し、$x$ と $y$ に条件を満たす正の関数 $f(x)$ と $g(x)$ を代入して、両辺を積分する。

(3) は、(2) で得られた不等式の特別な場合を考える。$g(x)$ としてどのような関数を選べば(2)の前提条件 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$ を満たし、かつ目的の不等式が現れるかを考える。

解法1

(1)

$y$ を任意の正の定数として固定し、$x > 0$ における関数 $F(x)$ を次のように定める。

$$F(x) = x \log x - x \log y - x + y$$

$x$ について微分すると、

$$\begin{aligned} F'(x) &= (\log x + 1) - \log y - 1 \\ &= \log x - \log y \end{aligned}$$

$F'(x) = 0$ となるのは $\log x = \log y$ より $x = y$ のときである。 $x > 0$ における $F(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline x & (0) & \cdots & y & \cdots \\ \hline F'(x) & & - & 0 & + \\ \hline F(x) & & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$F(x)$ は $x = y$ のとき最小値 $0$ をとる。したがって、$x > 0$ において $F(x) \geqq 0$ すなわち $x \log x - x \log y - x + y \geqq 0$ が成り立つ。これはすべての正の実数 $y$ に対して成り立つから、すべての正の実数 $x, y$ に対して与えられた不等式は成り立つ。

(2)

(1) の結果より、すべての正の実数 $X, Y$ について以下の不等式が成り立つ。

$$X \log X - X \log Y - X + Y \geqq 0$$

$f(x), g(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で正の値をとる関数であるから、任意の $x \in [a, b]$ に対して $f(x) > 0, g(x) > 0$ である。したがって、$X = f(x), Y = g(x)$ として(1)の不等式に代入することができ、次の不等式が成り立つ。

$$f(x) \log f(x) - f(x) \log g(x) - f(x) + g(x) \geqq 0$$

この不等式の両辺を $x$ について $a$ から $b$ まで積分すると、

$$\int_a^b \{ f(x) \log f(x) - f(x) \log g(x) - f(x) + g(x) \} dx \geqq 0$$

積分を分けると、

$$\int_a^b f(x) \log f(x) dx - \int_a^b f(x) \log g(x) dx - \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx \geqq 0$$

問題の条件より $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx$ であるから、$-\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx = 0$ となる。これを上の式に代入して整理すると、

$$\int_a^b f(x) \log f(x) dx - \int_a^b f(x) \log g(x) dx \geqq 0$$

$$\int_a^b f(x) \log f(x) dx \geqq \int_a^b f(x) \log g(x) dx$$

となり、示された。

(3)

(2) の不等式において、定数関数 $g(x) = M$ とおく。条件より、$f(x)$ は正の値をとるので $M = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ は正の実数である。したがって、$g(x) = M$ は閉区間 $[a, b]$ で正の値をとる連続関数である。また、$g(x)$ の閉区間 $[a, b]$ における定積分は、

$$\begin{aligned} \int_a^b g(x) dx &= \int_a^b M dx \\ &= M[x]_a^b \\ &= M(b-a) \end{aligned}$$

となる。ここで、$M = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ より $M(b-a) = \int_a^b f(x) dx$ であるから、

$$\int_a^b g(x) dx = \int_a^b f(x) dx$$

が成り立つ。

よって、$f(x)$ と $g(x) = M$ は(2)の条件をすべて満たすので、(2)の不等式が適用でき、

$$\int_a^b f(x) \log f(x) dx \geqq \int_a^b f(x) \log M dx$$

が成り立つ。この右辺を計算すると、

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) \log M dx &= \log M \int_a^b f(x) dx \\ &= \log M \cdot \{M(b-a)\} \\ &= M(b-a) \log M \end{aligned}$$

となるので、不等式は

$$\int_a^b f(x) \log f(x) dx \geqq M(b-a) \log M$$

となる。$a < b$ より $b-a > 0$ であるから、両辺を $b-a$ で割ると、

$$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \log f(x) dx \geqq M \log M$$

となり、示された。

解法2

(1)の別解

$x > 0, y > 0$ より、与えられた不等式の両辺を $y$ で割ると、

$$\frac{x}{y} \log x - \frac{x}{y} \log y - \frac{x}{y} + 1 \geqq 0$$

$$\frac{x}{y} (\log x - \log y) - \frac{x}{y} + 1 \geqq 0$$

$$\frac{x}{y} \log \frac{x}{y} - \frac{x}{y} + 1 \geqq 0$$

ここで、$t = \frac{x}{y}$ とおくと、$x > 0, y > 0$ より $t > 0$ である。不等式は $t \log t - t + 1 \geqq 0$ となる。

$h(t) = t \log t - t + 1 \quad (t > 0)$ とおく。 $t$ について微分すると、

$$\begin{aligned} h'(t) &= 1 \cdot \log t + t \cdot \frac{1}{t} - 1 \\ &= \log t + 1 - 1 \\ &= \log t \end{aligned}$$

$h'(t) = 0$ となるのは $t = 1$ のときである。 $t > 0$ における $h(t)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline t & (0) & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline h'(t) & & - & 0 & + \\ \hline h(t) & & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$h(t)$ は $t = 1$ のとき最小値 $0$ をとる。したがって、$t > 0$ において $h(t) \geqq 0$ が成り立つので、すべての正の実数 $x, y$ に対して $x \log x - x \log y - x + y \geqq 0$ が成り立つ。